5.13. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ КРУЧЕНИИ

При кручении, как и при растяжении, могут встретиться статически неопределимые задачи, для решения которых к уравнениям равновесия статики должны быть добавлены уравнения совместности перемещений.

Нетрудно показать, что метод решения указанных задач при кручении и при растяжении один и тот же. С этой целью решим две однотипные статически неопределимые задачи на растяжение и кручение. Пусть брус, заделанный обоими концами в абсолютно жесткие стены, нагружен на половине его длины в одном случае равномерно распределенными вдоль оси силами интенсивности а во втором — равномерно распределенными скручивающими моментами интенсивности (рис. 5.26). Аналогия между этими задачами

Рис. 5.26

станет еще яснее, если представить во второй задаче моменты внешних скручивающих пар их векторами, нормальными плоскостям действия пар. Тогда распределенная скручивающая нагрузка изобразится на чертеже векторами, направленными вдоль оси бруса, т. е. так же, как и погонная осевая нагрузка в первой задаче.

В обеих задачах для определения двух опорных реакций — в первом случае сил а во втором — моментов — имеется всего лишь по одному уравнению равновесия:

Следовательно, обе задачи один раз статически неопределимы.

Согласно намеченному в разд. 2.21 методу решения аналогичных задач, отбросим одну из заделок, например, правую, и заменим ее действие соответственно силой или моментом

Далее запишем условия равенства нулю удлинения первого бруса и угла закручивания второго бруса от совместного действия заданной нагрузки и реакций и Определяя деформации всего бруса суммированием деформаций его двух участков, записываем уравнения совместности деформаций так:

и

Определяя нормальные силы и крутящие моменты в текущих сечениях участков бруса

и вычисляя по формулам (2.13), (2.14), (5.13) и (5.15), получаем

Отсюда

Итак, не только постановка задач и метод их решения одинаковы но одинаковы по структуре все уравнения и окончательные результаты решения.

Далее эти задачи решаются как статически определимые. Внутренние силовые факторы в сечениях бруса

Перемещения текущих сечений относительно правого неподвижного сечения

Эпюры и приведены на рис. 5.26.

Пример. Стальная тонкостенная коробка постоянной толщины и стальной круглый брус прикреплены наглухо к концевым жестким дискам (рис. 5.27). Вся система скручивается парами сил, приложенными к дискам. Определить долю скручивающей нагрузки М, приходящейся на коробку и на брус. Аналогичный пример приведен в разд. 2.21.

Решение. Пусть — крутящий момент в сечениях коробки, а — момент в сечениях бруса. Из условия равновесия отсеченной части системы имеем

Условием совместности перемещений является равенство углов закручивания коробки и бруса:

где согласно табл. 5.2

Рис. 5.27

Рис. 5.28

Решая уравнения равновесия и совместности перемещений, находим

или

Отметим, что распределение нагрузки по элементам системы зависит от соотношения жесткостей на кручение этих элементов; например, при увеличении отношения возрастает доля нагрузки, воспринимаемой коробкой.

Пример. Две клапанные пружины (рис. 5.28), свитые из проволоки одинакового диаметра и имеющие одинаковое число витков сжимаются силой Р. Нагрузка передается через клапанную тарелочку. Выяснить, как распределяется нагрузка Р между пружинами, если диаметр витков внешней пружины в два раза больше диаметра витков внутренней пружины, и определить напряжения в пружинах.

Решение. Обозначим усилия сжатия внутренней и наружной пружины соответственно через Из условия равновесия тарелочки Исходя из равенства осадок пружин и получаем

Учитывая, что находим Следовательно, . Напряжения в пружинах подсчитываем по формуле (5.10):

Напряжения в пружинах отличаются меньше, чем воспринимаемые ими нагрузки, так как да