2.4. НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ
Нормальная сила в поперечном сечении бруса, численное значение которой находится из уравнения (2.1), является равнодействующей внутренних нормальных сил упругости в этом сечении:
Равенство (2.6) позволяет определить напряжения в каждой точке сечения, если известен закон их распределения по сечению. Однако установить аналитическим путем закон, по которому изменяются напряжения от точки к точке сечения, чрезвычайно трудно, а иногда просто невозможно из-за непреодолимой пока математической сложности задачи. Поэтому в сопротивлении материалов принято вводить основанные на опыте и упрощающие аналитическое решение задачи гипотезы о характере распределения напряжений или деформаций по плоскости сечения.
Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении прямого бруса нанесенные на его поверхности в поперечном направлении параллельные линии (рис. 2.4, а) не искривляются и остаются параллельными, а расстояния между ними увеличиваются.
Достаточно правильно и в то же время просто объясняет это явление гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно гипотезе все точки бруса, которые до
Рис. 2.4
деформации находились в одной плоскости, и после деформации располагаются в одной плоскости, или, иначе, сечение плоское до деформации остается плоским и после деформации.
Гипотеза плоских сечений играет важную роль, и практически почти все выводы в сопротивлении материалов основаны на этой гипотезе.
Применяя гипотезу плоских сечений и учитывая, что поперечные сечения, перемещаясь друг относительно друга, остаются параллельными, приходим к заключению об одинаковом удлинении всех продольных волокон бруса, а отсюда и о равномерном распределении внутренних нормальных сил упругости по плоскости сечения (рис. 2.4, б).
Понятие волокна для кристаллического материала условно, но весьма удобно для рассуждений. Волокном принято называть совокупность частиц материала, расположенных на линии, параллельной оси бруса. Полагая в уравнении (2.6) напряжение а постоянным при интегрировании по площади сечения, т. е. считая а функцией только координаты х, получаем
Из формулы (2.7) видно, что напряжения в сечениях бруса не зависят от материала, из которого он сделан, а зависят лишь от нагрузки на брус и площади его поперечного сечения.
Расчетное уравнение для нормальных напряжений при растяжении (2.7), как и весь ход рассуждений при его выводе, справедливы и в случае сжатия коротких прямых брусьев. Отличие заключается лишь в знаке нормальной силы 
Для брусьев, длины которых значительно больше их поперечных размеров, это положение справедливо только до определенного значения сжимающих сил, так как при больших нагрузках может произойти потеря устойчивости. В последнем случае продольные силы будут не только сжимать, но и изгибать брус, причем эффект изгиба может превзойти эффект сжатия.
Для нормальных напряжений принято такое же правило знаков, как и для нормальных сил, т. е. растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие — отрицательными.
Отметим, что в сопротивлении материалов рассматриваются, как правило, сечения, находящиеся на некотором расстоянии от мест приложения сосредоточенных сил и мест резкого изменения поперечных размеров бруса. Объясняется это тем, что вблизи мест приложения нагрузки, как и мест резкого изменения поперечных размеров, распределение напряжений по сечению значительно отличается от равномерного, зависит от способа осуществления нагрузки и характера изменения поперечных размеров и может быть исследовано только методами теории упругости. Однако неравномерность распределения напряжений быстро затухает, и на некотором расстоянии (порядка ширины сечения) от места ее возникновения распределение напряжений практически не отличается от равномерного.
Отмеченное свойство является частным случаем принципа Сен-Венана. Этот принцип может быть сформулирован так: замена системы сил, действующих на малую часть поверхности тела, статически эквивалентной ей системой сил, приложенных к той же части поверхности, практически не изменяет напряжений в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки.
Все решения сопротивления материалов предполагают, по существу, справедливость принципа Сен-Венана. Именно это обстоятельство и позволяет заменить действительные нагрузки их равнодействующими.
