6.6. НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ. ФОРМУЛА ЖУРАВСКОГО

При поперечном изгибе в сечениях бруса одновременно действуют внутренние нормальные и касательные силы. Нормальные силы вызывают линейные а касательные — угловые у деформации продольных волокон бруса. В результате деформаций сдвига сечения бруса при поперечном изгибе депланируются. Опыт показывает, что наибольшее искривление сечения имеет место вблизи нейтрального слоя (рис. 6.14). Это означает что касательные напряжения при изгибе достигают наибольшей величины вблизи нейтральной оси сечения, где нормальные напряжения минимальны.

При поперечном изгибе имеет место также давление между волокнами бруса. Однако искривление плоскости сечения и давление между волокнами не сказывается сколько-нибудь заметно на распределении и величине нормальных напряжений в поперечных сечениях балок, у которых высота сечения мала по сравнению с длиной балки . А именно такие балки наиболее распространены в технике. Поэтому нормальные напряжения и при поперечном изгибе балок вычисляют по формулам., выведенным для случая чистого изгиба.

Перейдем к определению касательных напряжений векторы которых параллельны плоскости действия нагрузки. Кроме этих напряжений в сечении могут

Рис. 6.14

Рис. 6.15

существовать также направленные параллельно нейтральной оси напряжения Однако напряжения в сплошных сечениях, как доказано в теории упругости, существенно меньше напряжений, и поэтому ими в расчетах обычно пренебрегают.

Непосредственное определение напряжений затруднительно. Проще определить парные им касательные напряжения возникающие в продольных сечениях бруса (рис. 6.15).

Предположим, что по ширине сечения касательные напряжения распределены равномерно. Более точная теория показывает, что это допущение выполняется тем точнее, чем меньше ширина сечения по сравнению с его высотой.

Определим напряжение в точке А сечения находящейся на расстоянии от нейтральной оси. Для этого продольным горизонтальным сечением, проходящим через точку А, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной (см. рис. 6.15).

При переходе от одного поперечного сечения к другому, находящемуся на расстоянии изгибающий момент изменится на величину Следовательно, по торцевым граням выделенного элемента будут действовать различные по величине напряжения но тогда и равнодействующая нормальных сил на площади (ее называют площадью отсеченной части сечения) левого торца рассматриваемого элемента

не будет равна соответствующей равнодействующей нормальных сил на правом его торце

Равнодействующие (рис. 6.16) противоположно направлены, и их разность должна уравновешиваться касательными силами действующими на продольном сечении суще

Рис. 6.16

Рис. 6.17

сущемента. Вследствие малой длины элемента и допущения о равномерном распределении напряжений по ширине поперечного сечения напряжения можно считать распределенными равномерно по всей продольной грани элемента. Следовательно, уравнение равновесия выделенного элемента будет иметь вид

Отсюда

Учитывая, что а интеграл представляет собой статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной оси сечения, получаем расчетное уравнение для касательных напряжений при поперечном изгибе

здесь — момент инерции всего сечения; а — ширина сечения на уровне той точки, где определяется напряжение.

Формула (6.17) называется формулой Журавского по имени русского инженера-мостостроителя, впервые применившего ее к балкам прямоугольного сечения.

Для прямоугольного сечения статический момент отсеченной части на уровне у от нейтральной линии (рис. 6.17)

Следовательно, распределение напряжений по высоте прямоугольного сечения изображается параболой

Максимальные касательные напряжения действуют в точках нейтральной линии

В круглом сечении эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статическии момент полукруга и момент инерции круга получаем Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на больше средних напряжений по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием и высотой (см. рис. 6.17), имеем

Подставляя эти выражения в формулу (6.17), находим

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной линии, т. е. в точках средней линии треугольника.

Нужно всегда иметь в виду, что формула Журавского определяет не полное касательное напряжение в точке сечения, а лишь составляющую этого напряжения, параллельную плоскости действия нагрузки. Однако в контурных точках сечения полные напряжения могут быть найдены графически по предварительно вычисленным напряжениям Для этого в рассматриваемой точке контура строится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза направлена по касательной к контуру, а катет, параллельный оси у, представляет собой напряжение в этой точке. Учитывая, что в контурной точке сечения вектор полного напряжения направлен по касательной к контуру (см. разд. 5.5), приходим к выводу, что гипотенуза построенного треугольника определяет величину и направление искомого напряжения . Этим же построением доказывается существование составляющих о которых упоминалось выше. Изложенное иллюстрируется рис. 6.18 на примере круглого сечения.

В заключение отметим, что формулой Журавского можно пользоваться только в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна одной из главных центральных осей инерции сечения. Объясняется это тем, что при выводе формулы Журавского использовано уравнение (6.14), справедливое лишь при указанных условиях.

Рис. 6.18