8.5. О РАЦИОНАЛЬНОМ ВЫБОРЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ СИММЕТРИИ

Рациональной основной системой для заданной статически неопределимой конструкции является такая система, при которой наибольшее число побочных коэффициентов канонических уравнений обращается в нуль. Чем больше коэффициентов канонических уравнений равно нулю, тем, очевидно, проще и легче решить эти уравнения.

Упрощать решения задачи раскрытия статической неопределимости можно использованием симметричных и обратно симметричных стержневых систем. Отметим, что внутренние силовые факторы в сечении бруса можно также разделить на симметричные и обратно симметричные. К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты и нормальные силы так как в двух смежных сечениях бруса они симметричны относительно плоскости разреза (рис. 8.7), а к обратно (косо) симметричным относятся перерезывающие силы и крутящие моменты поскольку они обратно симметричны относительно плоскости разреза.

Первая группа силовых факторов вызывает симметричные, а вторая — обратно симметричные относительно плоскости разреза деформации прилегающих к разрезу частей бруса.

Рассмотрим сначала особенности симметричных стержневых систем. Геометрически симметричная стержневая система с нагрузкой, симметричной относительной той же оси (плоскости), называется симметричной.

Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид и после деформации. Следовательно, перемещения симметричных сечений симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях симметричной системы одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях — опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению.

Если разрезать симметричную систему по оси (плоскости) симметрии, то нетрудно заметить, что обратно симметричные внутренние силовые факторы в этом сечении должны быть равны нулю. Действительно, обратно симметричные силовые факторы будут вызывать обратно симметричные деформации, которые противоречат характеру деформаций симметричной системы. Таким образом, в сечении по оси симметрии симметричной системы крутящие моменты и перерезывающие силы всегда равны нулю.

Покажем справедливость этих выводов на примере плоской симметричной рамы (рис. 8.8). Эта рама представляет собой плоский замкнутый контур и является трижды статически неопределимой системой. Выберем основную систему разрезом по оси симметрии. Допустим, что все внутренние силовые

Рис. 8.7

Рис. 8.8

факторы — изгибающие моменты нормальные силы и перерезывающие силы — отличны от нуля.

Раскрывая статическую неопределимость задачи методом сил, запишем систему канонических уравнений

Для вычисления ее коэффициентов построим эпюры изгибающих моментов от заданной и единичных нагрузок (см. рис. 8.8).

Эпюры от заданных нагрузок, изгибающих моментов и нормальных сил симметричны, а от перерезывающих сил — обратно симметричны. Произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, поэтому коэффициенты канонических уравнений

В результате система канонических уравнений принимает вид

Коэффициент отличен от нуля и поэтому перерезывающая сила равна нулю.

Итак, в сечении по оси симметрии симметричной стержневой системы обратно симметричные силовые факторы равны нулю.

Вычисляя остальные коэффициенты канонических уравнений, получаем

Рис. 8.9

и, решая систему канонических уравнений, находим

Суммарная эпюра изгибающих моментов симметрична относительно оси симметрии рамы, так как ее ординаты представляют собой суммы ординат симметричных эпюр и «2» (ординаты двух последних увеличиваются соответственно в раз). Таким образом, подтверждено и второе свойство симметричных систем: силовые факторы в симметричных сечениях симметричной стержневой системы равны по величине и симметричны по направлению.

Итак, основную систему в симметричных конструкциях надо выбирать путем удаления лишних связей на оси симметрии и следить за тем, чтобы и эквивалентная система была симметричной (только при этом условии реализуются свойства симметричных систем). Если в конструкции имеется стержень, направленный вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях.

Пример. Решить раму, представленную на рис. 8.9.

Решение. Если не использовать свойств симметричных систем, то для раскрытия статической неопределимости потребовалось бы решать систему из шести линейных алгебраических уравнений. Использование свойств симметрии упрощает решение задачи.

Один из стержней рамы совпадает с вертикальной осью симметрии. Поэтому основную систему выберем разрезом боковых стержней рамы по горизонтальной оси симметрии. Чтобы эквивалентная система была симметричной, внешние силы Р отнесем равными частями к обеим сторонам разреза.

В силу симметрии рамы относительно вертикальной оси силовые факторы в проведенных сечениях равны по величине и противоположны по направлению, а

Рис. 8.10

вследствие симметрии относительно горизонтальной оси перерезывающие силы в этих сечениях равны нулю.

Система канонических уравнений имеет вид

Перемножая эпюры (см. рис. 8.9), находим коэффициенты этой системы ;

Решение канонических уравнений дает Суммарная эпюра приведена на рис. 8.9.

Рассмотрим теперь обратно симметричные стержневые системы.

Геометрически симметричные стержневые системы с нагрузкой, обратно симметричной относительно оси (плоскости) симметрии системы, называются обратно симметричными, или косо симметричными.

Перемещения симметричных сечений такой системы и одноименные внутренние силовые факторы в них равны по величине и обратно симметричны по направлению. В сечении на оси симметрии симметричные силовые факторы всегда равны нулю, так как они вызывают симметричные деформации, не соответствующие характеру деформаций от заданной нагрузки.

Подтвердим изложенное на примере плоской обратно симметричной рамы (рис. 8.10). Выберем основную систему разрезом рамы по оси симметрии и построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок и единичных усилий, приложенных вместо искомых силовых факторов (см. рис. 8.10).

Составим канонические уравнения

и вычислим коэффициенты этой системы способом Верещагина.

Так как произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, то

Итак, система канонических уравнений распадается на две группы:

Вторая группа представляет собой систему линейных однородных уравнений, определитель которой отличен от нуля. Отсюда следует, что нормальная сила и изгибающий момент в сечении но оси симметрии рамы равны нулю.

Итак, подтверждено, что в сечении по оси симметрии обратно симметричной стержневой системы симметричные силовые факторы — изгибающие моменты и нормальные силы равны нулю и могут действовать только обратно симметричные силовые факторы. А это означает, что в симметричных сечениях (в том числе и опорных) обратно симметричных стержневых систем силовые факторы равны по величине и обратно симметричны по направлению.

Использование в расчетах отмеченных свойств обратно симметричных систем позволяет существенно упростить решение задачи.

Для рассматриваемой на рис. 8.10 задачи коэффициенты канонического уравнения будут:

и, согласно первому уравнению,

Суммарная эпюра изгибающих моментов имеет обратно симметричный вид (см. рис. 8.10).

Пример. Решить раму, представленную на рис. 8.11,

Решение. Согласно свойству обратно симметричных рам, одноименные опорные реакции равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно,

Эпюра показана на рис. 8.11.

Пример. Раскрыть статическую неопределимость рамы, представленной на рис. 8.12.

Рис. 8.11

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Рис. 8.14

Решение. Данная рама обратно симметрична. В этом нетрудно убедиться, представив распределенную нагрузку так, как показано на рис. 8.12. Основную систему получим, сняв горизонтальные связи в нижних шарнирных опорах. В данном случае в. качестве основной выбрана, вообще говоря, статически неопределимая система. Однако при обратно симметричной нагрузке опорные реакции в катковых опорах будут равны по величине и противоположны по направлению и их можно определить, из уравнения равновесия.

Коэффициенты канонического уравнения найдем перемножением эпюр:

Тогда

Суммарная эпюра представлена на рис. 8.12.

Остановимся теперь на особенностях расчета центрально симметричных (рис. 8.13) и центрально обратно симметричных (рис. 8.14) рам. В первом случае при повороте одной половины рамы вокруг центра симметрии на 180° внешние силы Р совпадают по направлению, а во втором — окажутся противоположны по направлению.

Разрежем обе рамы по центру симметрии и представим себе характер деформации этих рам под действием сил Р. Из рис. 8.13 видно, что сечения рамы в месте разреза не поворачиваются друг относительно друга, а только расходятся в вертикальном и горизонтальном направлениях. Это означает, что в сечении изгибающие моменты равны нулю и действуют только нормальные и перерезывающие силы

В таких же сечениях второй рамы (см. рис, 8.14), наоборот, должны действовать изгибающие моменты и будут отсутствовать нормальные и перерезывающие силы, так как эти сечения только поворачиваются друг относительно друга.

В центрально симметричных и обратно симметричных рамах основную систему следует выбирать удалением лишних связей в сечении по центру симметрии.

В смешанных статически неопределимых конструкциях при выборе основной системы следует сначала разрезать тяги и пружины и только после этого удалить лишние связи в элементах рамного типа.

Рис. 8.15

Пример. Определить усилие в тягах и построить суммарную эпюру изгибающих моментов для рамы, представленной на рис. 8.15, если

Решение. Вследствие симметрии рамы относительно вертикальной оси усилия в тягах будут равны по величине и симметричны по направлению. Эквивалентная система и эпюры от заданной нагрузки и единичных сил показаны на рис. 8.15. Вычисляя коэффициенты канонического уравнения по формуле

получаем

Следовательно, нормальные силы в тягах

Суммарная эпюра приведена на рис. 8.15. Там же приведены значения нормальных сил в тягах.