7.3. ПЛОСКИЕ РАМЫ

В сечениях плоской рамы возникают только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающие моменты перерезывающие силы и нормальные силы Следовательно, для плоской рамы из шести слагаемых в формуле (7.1) остается три. Если же учесть, что основную роль в рамах играют изгибные перемещения, в этой формуле можно оставить лишь одно слагаемое. Поэтому интеграл Мора для плоских рам принимает такой же вид, как и для балок:

На прямолинейных участках рам этот интеграл удобно вычислять перемножением эпюр способом Верещагина.

Эпюры изгибающих моментов в рамах строятся на сжатых волокнах; ординаты эпюр откладываются на перпендикулярах к оси рамы в сторону сжатых волокон.

Пример. Построить эпюру для плоской рамы (рис. 7.4) и определить вертикальное перемещение сечения если , а сечение имеет форму квадрата .

Решение. Применяя метод сечении (рис. 7.4), определяем в текущих сечениях каждого участка рамы:

Рис. 7.4

По этим уравнениям строим эпюры (см. рис. 7.4) учитывая, что на первом участке сжатые волокна расположены ниже оси, на втором справа, на третьем — на одной половине вверху, а на второй — внизу. В среднем сечении последнего участка так как линия действия равнодействующей распределенной нагрузки проходит через это сечение и никаких других нагрузок к отсеченной части рамы не приложено.

Заметим, что в местах излома рамы изгибающие моменты в двух смежных сечениях, проведенных по разные стороны от вершины угла, равны по величине и вызывают сжатие волокон, которые находятся по одну сторону от оси рамы (в данном случае — внешних волокон). Это свойство любых плоских рам. Оно несправедливо только при наличии внешнего сосредоточенного момента в вершине угла рамы. В последнем случае изгибающие моменты в указанных смежных сечениях будут отличаться как раз на величину момента этой пары, а сжатые волокна могут быть расположены по разные стороны от оси рамы (см. третий пример этого раздела).

Для определения вертикального перемещения сечения снимем с рамы заданную нагрузку, приложим в этом сечении в вертикальном направлении единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов от этой силы (см. рис. 7.4). На каждом участке рамы эпюра ограничена прямыми линиями. Поэтому вычисление интегралов (7.3) можно провести способом Верещагина (см, разд. 6.13):

В последнем слагаемом площадь со взята с единичной эпюры, а ордината получена подстановкой в значения

Пример. Определить полное перемещение сечения С плоской криволинейной рамы (рис. 7.5).

Решение. Изгибающий момент от силы Р в текущем сечении Снимем силу Р и приложим в сечении сначала вертикальную, а затем

Рис. 7.5

Рис. 7.6

горизонтальную единичные силы и определим изгибающие моменты в текущем сечении от этих сил

Эпюры изгибающих моментов приведены на рис. 7.5.

Согласно формуле (7.3) и равенству

Искомое полное перемещение

Направление перемещения определяется углом а, тангенс которого Следовательно,

Пример. Построить эпюру для рамы, представленной на рис. 7.6, и определить угол поворота сечения С.

Решение. В узле С сходятся три стержня, В таких случаях эпюры строят приближаясь к этому узлу со стороны каждого стержня.

Согласно дифференциальным зависимостям,

(см. разд. 6.3), справедливым и для рам, эпюра на участке с распределенной нагрузкой ограничена квадратной параболой, направленной выпуклостью навстречу стрелкам нагрузки (см. рис. 7.6). В конечном сечении этого участка а в начальном На криволинейном участке момент изменяется

Рис. 7.7

по закону на участке — по линейному закону от в сечении узла С до на шарнирно закрепленном конце.

Узел С, как и вся рама, находится в равновесии. Поэтому изгибающие моменты в близких к центру узла сечениях должны представлять собой систему уравновешенных моментов (см. рис. 7.6). Условия равновесия узлов необходимо всегда использовать для контроля правильности вычисления изгибающих моментов при построении эпюр в любых плоских рамах.

Вследствие жесткого соединения стержней в уме С сечения всех стержней в узле С повернутся на один и тот же угол. Чтобы определить этот угол, надо приложить в узле единичный момент и построить эпюру (см. рис. 7.6). Узел С рамы и в этом случае нагружения находится в равновесии, но изгибающие моменты в смежных сеченнях отличаются на величину единичного момента, вызывая сжатие внешних волокон на криволинейном и внутренних — на прямолинейном участке рамы.

Вычисляя интеграл Мора (7.3), находим

Пример. Построить эпюру изгибающих моментов в раме, представляющей собой замкнутый контур с тремя шарнирами (рис. 7.7).

Решение. Рама не имеет опор, но она находится в равновесии, так как внешняя нагрузка является самоуравновешенной. Чтобы построить эпюру надо сначала определить внутренние силовые факторы хотя бы в одном сечении рамы. Рассечем раму, например, по оси шарнира А. Силы взаимодействия частиц материала рамы в этом сечении приводятся к нормальной и перерезывающей силам, направленным по обе стороны от разреза в противоположные стороны. Наличие двух других шарниров позволяет определить величины и Действительно, записывая условия равенства нулю изгибающих моментов в сечениях шарниров В и С, получаем

Отсюда

Далее строим эпюру как и в незамкнутой раме, начиная с места разреза (см. рис. 7.7).