ГЛАВА 18. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

18.1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА

Продольно-поперечный изгиб прямого бруса вызывается совместным действием продольных и поперечных сил.

Известно, что при поперечном изгибе небольшое изменение во взаимном расположении внешних нагрузок, вызываемое деформацией бруса, незначительно сказывается на прогибах и напряжениях, и этим изменением обычно в расчетах пренебрегают.

При совместном действии продольных и поперечных сил искривление оси бруса может существенно сказаться на величине прогибов и напряжений, если продольные силы велики.

Если продольные силы невелики, а брус обладает большой жесткостью на изгиб, то влияние этих сил на напряжения и деформации будет мало и им можно пренебречь. Подобный случай деформации бруса был рассмотрен при изучении внецентренного растяжения и сжатия.

Чтобы выяснить, сколь значительно влияние продольной силы на изгиб, необходимо определить деформации оси бруса при одновременном действии продольных и поперечных сил.

18.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЗОГНУТОЙ ОСИ

Рассмотрим балку, нагруженную системой поперечных сил и сжатую продольной силой (рис. 18.1).

Направим ось у так, как показано на рис. 18.1, а ось х совместим с осью балки.

Полагая, что прогибы малы и изгиб происходит в одной из главных плоскостей балки, можем записать дифференциальное уравнение упругой линии балки в виде

где — изгибающий момент в текущем сечении от совместного действия продольных и поперечных нагрузок, знак плюс в правой части берется при направлении оси у вверх, а минус — при направлении этой оси вниз.

Момент равен сумме изгибающих моментов в том же сечении от поперечных нагрузок и от продольной силы

Рис. 18.1

Рис. 18.2

Знаки моментов устанавливаются по тому же правилу, что и при поперечном изгибе, но при вычислении момента от силы учитывается еще и знак прогиба Так, в сечениях балки, представленной на рис. 18.1, моменты от силы положительны, но прогибы отрицательны, поэтому уравнение (18.1) для этой балки имеет вид

При изменении направления поперечной нагрузки на противоположное прогиб и момент от силы изменяют знаки, поэтому отрицательный знак перед произведением в правой части уравнения (18.3) сохранится. При этом изменится и знак момента от поперечной нагрузки, но он скрыт в обозначении

Аналогично можно показать, что при направлении оси у вниз произведение будет входить в правую часть уравнения (18.1) с отрицательным знаком независимо от направления поперечной нагрузки.

Таким образом, при продольно-поперечном изгибе независимо от направления оси у момент от силы надо подставлять со знаком минус в правую часть уравнения (18.1), а перед удерживать знак, определяемый выбранным направлением оси у, знак момента определяется по правилу, принятому в теории поперечного изгиба.

Введя обозначение запишем уравнение (18.3) так:

Если сила будет не сжимающей, а растягивающей, то знак момента от осевой силы в правой части уравнения (18.3) изменится на обратный, и это уравнение при растягивающей продольной силе будет иметь вид

Интегрируя уравнение (18.4) и подчиняя его общий интеграл граничным условиям, находим прогибы балки от совместного действия продольных и поперечных нагрузок.

Ход решения проследим на примере двухопорной балки, нагруженной поперечной силой Р в середине пролета и продольной силой (рис. 18.2).

Вследствие симметрии изогнутой оси балки достаточно составить уравнение (18.4) только для одного из двух участков, например для левого. Изгибающий момент от силы Р на этом участке

Подставляя выражение для в уравнение (18.4), получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение общий интеграл которого

Прогиб балки при и угол поворота среднего сечения при равны нулю. Следовательно, для определения постоянных интегрирования А и В имеем два условия

Из первого условия получаем из второго

Следовательно, уравнение изогнутой оси левого участка балки запишется так:

Полагая в этом уравнении находим максимальный прогиб балки

Суммируя изгибающие моменты в этом сечении от сил и Р получаем максимальный изгибающий момент от совместного действия этих сил

Первые множители в правых частях этих равенств представляют собой максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент от действия на балку одной только поперечной силы Р и изменяются пропорционально изменению силы Р.

Вторые множители зависят только от продольной силы и выражают влияние этой силы на прогибы и изгибающие моменты. Зависимость их от силы не линейная, а более сложная, так как сила входит в эти множители под знаком тригонометрической функции.

Когда сила мала, величина также незначительна и рассматриваемые множители близки к единице, что легко показать, раскладывая в ряд

Таким образом, при малых значениях влияние этой силы на прогибы и изгибающие моменты незначительно и им в расчетах, как указывалось выше, можно пренебречь. С увеличением прогибы и моменты возрастают быстрее, чем сама сила и при

Рис. 18.3

Рис. 18.4

Рис. 18.5

стремятся к бесконечности, так как стремится к бесконечности. При сила достигает предельного значения

Это предельное значение сжимающей силы называется критической нагрузкой. Критическую нагрузку называют также эйлеровой силой.

Результаты приведенного исследования показывают, что прогибы балки и изгибающие моменты пропорциональны поперечной силе Р и нелинейно зависят от продольной силы

Графически зависимость прогибов и моментов от изменения одних поперечных сил при постоянной продольной силе представлена на рис. 18.3, а от изменения продольных сил — на рис. 18.4.

Характер зависимости прогибов и моментов от продольных и поперечных нагрузок, установленный на рассмотренном примере двухопорной балки, наблюдается в любом случае продольно-поперечного изгиба. Нелинейная зависимость прогибов и моментов, а следовательно, и напряжений от продольных сил свидетельствует о том, что при продольно-поперечном изгибе неприменим принцип независимости действия сил: полные прогибы и изгибающие моменты не могут быть найдены суммированием прогибов и моментов, вызванных действием на балку каждой из нагрузок в отдельности.

В качестве примера продольно-поперечного изгиба рассмотрим случай эксцентричного сжатия гибкого бруса постоянного сечения силами, линия действия которых параллельна оси бруса и пересекает главную ось. у на расстоянии от центра тяжести поперечного сечения (рис. 18.5).

Отсчитывая для упрощения выкладок прогибы оси стержня от линии действия силы Р, т. е. полагая где у — действительные прогибы оси стержня, эксцентриситет приложения нагрузки, составляем дифференциальное уравнение этой оси: Его общий интеграл:

Условия на концах стержня: е. Отсюда находим Выражение для В преобразуем так:

Подставляя найденные значения А и В в общий интеграл, получаем уравнение упругой линии стойки в выбранной системе координат осей в виде

Максимальный прогиб утах будет при , а изгибающий момент в этом сечении