16.3. ПРИВЕДЕННАЯ МАССА. КОЭФФИЦИЕНТ ПРИВЕДЕНИЯ

Вычислим кинетическую энергию Т массы, воспринимающей удар упругой системы. В процессе движения системы ее частицы перемещаются с различными скоростями.

Кинетическая энергия элементарной частицы упругой системы с массой перемещающейся со скоростью равна Суммируя кинетические энергии всех частиц упругой системы, получаем

где интеграл распространен на всю массу системы.

Обозначим через скорость какой-либо заранее выбранной точки системы, а затем умножим и разделим правую часть выражения (16.6) на массу всей упругой системы и квадрат скорости Тогда

Введя обозначение для безразмерной величины

запишем выражение для Т в виде

Таким образом, кинетическая энергия распределенной массы упругой системы выражена через кинетическую энергию некоторой сосредоточенной массы движущейся со скоростью

определенной точки системы, называемой точкой приведения. Масса равная произведению Кат, называется приведенной массой, а безразмерная величина коэффициентом приведения массы.

Итак, приведенная масса есть такая сосредоточенная масса, которая, двигаясь со скоростью точки приведения, имеет такую же кинетическую энергию, какой обладают все материальные точки упругой системы в процессе их движения.

В задачах удара массу системы приводят к точке удара. Чтобы найти коэффициент приведения необходимо знать соотношение скоростей точек упругой системы в процессе ее деформации. Отношение скоростей равно отношению перемещений точек системы при ударе, т. е.

Тогда

Предположим, что форма упругой линии системы при динамическом нагружении подобна упругой линии этой же системы при статическом приложении сосредоточенной силы к точке приведения. Тогда в выражении (16.11) можно рассматривать как смещения тех же точек системы при ее статическом нагружении в точке приведения некоторой сосредоточенной силой Коэффициент от величины силы не зависит.

Рассмотрим несколько примеров вычисления коэффициента приведения.

Пример 1. Найти коэффициент приведения массы стержня постоянного сечения к нижнему концу стержня (рис. 16.3).

Решение. Смещение торцового сечения бруса при статическом нагружении силой будет смещение текущего сечения Отношение этих смещений

Масса элемента стержня а масса всего стержня Следовательно, коэффициент приведения массы стержня к его нижнему торцовому сечению

а приведенная масса стержня

Пример 2. Привести массу консоли к свободному концу (рис. 16.4).

Решение. Определяя прогибы балки способом Верещагина или с помощью дифференциального уравнения упругой линии, получаем

Смещение свободного конца балки Следовательно, отношение

Рис. 16.3

Рис. 16.4

Рис. 16.5

Подставляя последнее выражение в формулу (16.11), находим

Искомая приведенная масса

Пример. Найти коэффициент приведения массы двухопорной балки к середине пролета (рис. 16.5).

Решение. Уравнение упругой линии балки при статическом нагружении ее силой в середине пролета при имеет вид (см. разд. 6.12)

где — прогиб в середине пролета. Следовательно, коэффициент приведения массы балки к середине пролета