ГЛАВА 9. КОСОЙ ИЗГИБ. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

9.1. КОСОЙ ИЗГИБ

В предыдущих разделах курса рассматривался так называемый прямой поперечный изгиб, при котором нагружение и искривление оси бруса происходит в одной из двух его главных плоскостей (напомним, что главные плоскости бруса суть две взаимно перпендикулярные и проходящие через ось бруса плоскости, каждая из которых содержит одну из главных центральных осей инерции всех его поперечных сечений).

Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб. (Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса прямоугольного сечения силой, приложенной в плоскости торцового сечения под некоторым углом а к его оси симметрии (рис. 9.1).

Косой изгиб можно представить как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки на два составляющих момента:

Изображая изгибающий момент в сечении по правилам механики в виде вектора, нормального к плоскости действия этого момента (рис. 9.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям у и получаем

Воспользуемся принципом независимости действия сил. Нормальное напряжение а в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами т. е.

Здесь у и z — координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения, а - изгибающие моменты относительно этих эти величины при расчетах надо подставлять в формулу (9.1) с их знаками. Знаки координат у и определяются положением исследуемой точки сечения относительно координатных осей. Если точка расположена, например, в первой четверти сечения, то у и имеют положительные значения. Следовательно, чтобы растягивающие

Рис. 9.1

Рис. 9.2

напряжения в первой четверти имели знак плюс, моменты вызывающие растяжение в первой четверти, должны быть положительными

Поэтому условимся в случае косого изгиба считать изгибающий момент положительным, если он вызывает растяжение в первой., четверти сечения, и отрицательным, если он вызывает сжатие в этой четверти.

Согласно принятому правилу знаков, в приведенном выше примере изгиба консольного бруса моменту надо приписать знак плюс, а моменту — минус.)

Из уравнения (9.1) следует, что концы векторов напряжений располагаются на плочкости. Эта плоскость называется плоскостью напряжений (рис. 9.3). Плоскость напряжений пересекается с плоскостью поперечного сечения по прямой, в точках которой напряжения равны нулю. Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называются нейтральной линией сечения. Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой — сжимающие напряжения.

Уравнение нейтральной линии найдем, приравнивая правую часть равенства (9.1) нулю:

Уравнение (9.2) можно преобразовать так;

Рис. 9.3

Здесь координаты текущей точки нейтральной линии, а угловой коэффициент этой линии.

Зная положение нейтральной линии и характер распределения напряжений по сечению, легко построить эпюру напряжений в сечении и по ней наметить положение опасных точек.

Эпюра напряжений а строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения. Поскольку поверхность напряжений есть плоскость, эпюра а будет ограничена прямой, наклонной к оси эпюры (см. рис. 9.2). (Опасными будут точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной линий. Напряжения в опасных точках определяются по формуле (9.1) путем подстановки в нее координат этих точек.

Иногда опасные точки можно находить, не определяя положения нейтральной оси сечения. Так, в приведенном выше примере изгиба консольного бруса, опасными могут быть только точки А и В (см. рис. 9.2), поскольку в этих точках напряжения от моментов имеют наибольшие значения и одинаковые знаки. Во всех остальных точках сечения суммарные напряжения будут по абсолютной вё-личине меньше, чем в точках А и В.

Механические свойства материала определяют, какая из двух указанных точек является более опасной. Так, (если материал бруса одинаково работает на растяжение и сжатие, то точки А и В равноопасны. Если же материал хуже работает на растяжение, чем на сжатие, то опасной будет точка А, так как в ней действует наибольшее растягивающее напряжение.

Условие прочности при косом изгибе напишется так:

Здесь — координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения — допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.

Из формулы (9.2) следует, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения, т. е. является нейтральной осью, и наклонена к оси под углом

В рассматриваемом примере так как согласно правилу знаков . В то же время тангенс угла наклона вектора к оси или, что то же самое, тангенс угла между нормалью к плоскости действия суммарного изгибающего момента в сечении и осью как видно из рис. 9.2,

Таким образом, в общем случае между углами а и Р существует следующее соотношение:

Так как то угол а не равен углу Следовательно, при косом изгибе, в отличие от плоского изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол

Если то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось сечения является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.

При изгибе поперечные сечения бруса, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг нейтральной линии и смещаются в направлении нормали к этой линии. Следовательно, при косом изгибе смещение центра сечения будет происходить не в плоскости действия изгибающего момента. При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изгиба, т. е. плоскость, в которой расположена деформированная ось бруса, не будет совпадать с плоскостью действия нагрузки.

Если внешние силы и пары, изгибающие брус, будут расположены в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса (упругая линия) будет пространственной кривой.

Полное перемещение центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности, т. е.

Перемещения и в главных плоскостях бруса определяются способом Мора или другими методами, например с помощью дифференциального уравнения упругой линии.