10.15. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СССТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ЗАВИСИМОСТЯМИ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ

При деформации тела его точки перемещаются, расстояния между ними изменяются и изменяются также углы между отрезками, соединяющими эти точки.

Совокупность линейных, и угловых деформаций по всем направлениям, проходящим через данную точку тела, называется деформированным состоянием в точке тела.

Линейные деформации характеризуются относительными удлинениями по различным направлениям, исходящим из данной точки.

Относительное удлинение в точке А в направлении, определяемом направлением отрезка представляет собой относительное приращение расстояния между точками А и В в результате деформации тела:

где положение точек А и В после деформации.

Относительные деформации в направлении координатных осей обозначаются, как известно из предыдущих разделов курса, через Угловые деформации характеризуются углами сдвига, представляющими собой изменение первоначального прямого угла между каждой парой ортогональных отрезков, исходящих из данной точки. Углы сдвига в координатных плоскостях обозначаются

Линейные деформации в направлении осей прямоугольной системы координат и углы сдвига в координатных плоскостях называются компонентами деформаций в данной точке тела.

Как компоненты напряжений полностью определяют напряженное состояние в точке тела, как и компоненты деформаций полностью определяют

деформированное состояние в точке тела. Более того, оказывается, что имеет место полная аналогия в математических зависимостях теории напряженного и теории деформированного состояний. Так, выражение для относительной деформации по любому направлению, определяемому в осях направляющими косинусами через компоненты деформаций имеет вид

Формула (10.28) отличается от формулы (10.4) для только тем, что заменяются не в то время как заменяются

Указанная выше аналогия распространяется не только на математические зависимости, но и на свойства напряженных и деформированных состояний.

Оказывается, что в каждой точке тела существует по крайней мере три такие взаимно перпендикулярные оси, углы между которыми в процессе деформации не изменяются. Эти оси называются главными осями деформаций, а относительные удлинения по этим осям — главными деформациями в данной точке.

Главные деформации обозначаются символами причем Главные деформации находятся из уравнения

а направления осей главных деформаций определяются из системы уравнений

В направлении главных деформаций относительные удлинения достигают экстремальных значений, т. е. — наибольшая, а — наименьшая линейная деформация в точке тела.

В изотропном теле направления главных осей напряженного и главных осей деформированного состояний совпадают.