2.20. ЭПЮРЫ НОРМАЛЬНЫХ СИЛ, НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Нормальные силы напряжения а, относительные удлинения и перемещения 6 изменяются по длине бруса и являются, как указывалось выше, функциями положения сечения, т. е.

Графики этих функций называются эпюрами. Эпюры дают наглядное представление о законе изменения исследуемых величин по длине бруса, и поэтому очень полезны для проведения расчетов на прочность и жесткость.

При построении эшор придерживаются определенных правил. Все эпюры строятся на одном чертеже, непосредственно под схемой

бруса. Оси эпюр проводятся параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ним откладываются в заранее выбранных масштабах значения силы, напряжения или перемещения в соответствующем сечении. Положительные значения откладываются выше, а отрицательные — ниже оси эпюры.

При вертикальном и наклонном положении оси эпюры в случае необходимости положительная область эпюры обозначается знаком а отрицательная — знаком

На оси эпюр сносятся границы участков бруса, в пределах которых аналитические выражения исследуемых величин не изменяются. Практически такими границами являются сечения, где приложены сосредоточенные силы, начинаются и кончаются распределенные нагрузки или изменяются поперечные размеры бруса. Все эпюры штрихуются прямыми, перпендикулярными их осям.

Для построения эпюр требуется составить аналитические выражения для нормальных сил напряжений о и т. д. в текущих сечениях каждого участка, а затем начертить графики найденных функциональных зависимостей.

Часто намечают лишь очертания эпюр, вычисляя их ординаты только для некоторых характерных сечений. Такое построение (рисование) эпюр основано на анализе уравнений линий очертания эпюр, а также на дифференциальных и интегральных зависимостях, существующих между ними. Характер этих зависимостей легко установить исходя из уравнений (2.1), (2.7), (2.11) и (2.15).

Первое слагаемое уравнения (2.1) показывает, что при переходе через сечение, где приложена сосредоточенная нагрузка Р, нормальная сила изменяется на величину этой нагрузки, и поэтому на эпюре в этом месте будет скачок, по величине и знаку равный силе Р. Второе слагаемое уравнения (2.1) устанавливает интегральную зависимость между нормальной силой и погонной нагрузкой Это означает, что на участке действия распределенной нагрузки, интенсивность которой изменяется по закону полинома, эпюра нормальных сил будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени кривой эпюры погонных нагрузок Следовательно, при постоянной погонной нагрузке эпюра ограничена наклонной прямой, в случае изменения по закону треугольника или трапеции эпюра будет ограничена квадратной параболой и т.

Для построения эпюры нормальных напряжений надо согласно формуле (2.7) разделить ординаты эпюры на площади соответствующих им сечений бруса. На эпюре а скачки будут не только там, где приложены сосредоточенные нагрузки, но и там, где резко изменяются размеры поперечных сечений.

Если брус сделан из одного материала то эпюра по внешнему виду не отличается от эпюры ст. Поэтому в построении этой эпюры необходимости нет, а все заключения можно сделать на основании эпюры ст.

Уравнение (2.15) устанавливает интегральную зависимость между перемещениями сечений бруса и относительными удлинениями

Рис. 2.26

Следовательно, эпюра 6 ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени кривой а перемещение любого сечения бруса относительно неподвижного равно алгебраической сумме площадей эпюры на интервале от неподвижного сечения до рассматриваемого. Дифференцируя равенство (2.15), получаем

Согласно геометрическому смыслу первой производной, каждая ордината эпюры по величине равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в соответствующей точке эпюры Аналогичная дифференциальная зависимость имеет место и между эпюрами и

Итак, по эпюре (или по эпюре а) можно не только определить значения ординат эпюры в различных ее точках, но и направления кривой в этих точках. В тех сечениях, где эпюра имеет экстремум, а там, где эпюра изменяется скачком, на эпюре 8 будет перелом.

Характерной особенностью эпюры перемещений является отсутствие на ней скачков. Скачок на эпюре означает, что два бесконечно близких сечения имеют различные перемещения, и поэтому такой скачок возможен лишь при наличии первоначального зазора между двумя частями бруса или в случае разрушения бруса в этом месте.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр.

Пример. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.26, и определить агаах и если см. Материал — сталь,

Решение. Определяя нормальные силы в текущих сечениях каждого из четырех участков суммированием внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, получаем

Нормальные напряжения

Перемещения текущих сечений каждого участка бруса относительно неподвижного, равные удлинениям соответствующих частей бруса, подсчитываем по формуле (2.14):

Те же результаты, естественно, были бы получены при определении перемещений по площадям эпюры в, или, что то же, эпюры а, предварительно поделенной на модуль упругости Е. Эшоры приведены на рис. 2,26.

Рис. 2.27

Наибольшего значения напряжения достигают в сечениях первого участка:

Наибольшее перемещение имеет сечение, где приложена сила

Знак минус показывает, что сечение при ближается к неподвижному.

Пример. Вертикально расположенный призматический стержень (рис. 2.27) нагружен силой тяжести. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

Решение. Сила тяжести такого бруса является характерным примером равномерного распределения нагрузки. Погонной нагрузкой в этом случае является сила тяжести единицы длины бруса сила тяжести единицы объема материала).

Нормальная сила в сечении на расстоянии х от свободного конца бруса равна силе тяжести его нижей части: а нормальное напряжение в том же сечении Нормальная сила и напряжение о, как и следовало ожидать из интегральной зависимости (2.1) и условия изменяются по линейному закону.

Эпюру перемещений удобно построить по площадям эпюры о, предварительно уменьшенной на величину модуля упругости Е, Построение надо начинать с неподвижного сечения.

Согласно эпюре а, эпюра должна быть ограничена квадратной параболой, имеющей максимум при так как и наибольший угол наклона касательной при так как Максимальное перемещение, подсчитанное по площади эпюры о,

где — сила тяжести стержня.

Перемещение текущего сечения можно определить как по эпюре о, так и по формуле (2.15). Используем последний путь. Учитывая, что искомое перемещение равно удлинению верхней части бруса, получаем

Заметим, что удлинение бруса постоянного сечения, вызванное его силой тяжести, вдвое меньше удлинения от сосредоточенной силы, равной силе тяжести и приложенной на его свободном конце.