6.5. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

Изгиб балки, при котором в сечении возникает только изгибающий момент Мизг, а перерезывающая сила равна нулю, называется чистым изгибом. Чистый изгиб можно осуществить, нагружая брус в концевых сечениях равными по величине и противоположно направленными парами сил, действующими в плоскости симметрии бруса или так, как показано на рис. 6.9.

Равенство нулю перерезывающей силы говорит о том, что при чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные внутренние силы. Изгибающий момент численное значение которого определяется из уравнения (6.2), представляет собой сумму моментов всех элементарных нормальных внутренних сил относительно оси сечения;

Чтобы с помошью равенства (6.10) определить величину напряжений о в точках сечения, необходимо, как и в случаях растяжения и кручения, определить закон распределения о по плоскости сечения.

Опыт показывает, что при чистом изгибе продольные линии, нанесенные на поверхности бруса, искривляются, а поперечные поворачиваются, но остаются прямыми и перпендикулярными к изогнутым продольным линиям (рис. 6.10). Следовательно, и в данном случае можно применить гипотезу плоских сечений, т. е. считать, что сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Опытным путем также установлено, что волокна на выпуклой стороне бруса испытывают растяжение, а на вогнутой — сжатие.

Поэтому должен существовать слой, волокна которого, искривляясь, сохраняют свою первоначальную длину. Такой слой называется нейтральным, а линия пересечения этого слоя с плоскостью сечения — нейтральной линией сечения.

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Рис. 6.11

К заключению о существовании нейтрального слоя приводит и уравнение (6.3). Действительно, при наличии в сечении напряжений разных знаков и непрерывном их распределении по сечению должны существовать точки, где Следовательно, должен существовать слой, волокна которого не испытывают действия ни растягивающих, ни сжимающих сил.

Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие внутренние силы, а в другой — сжимающие. Вокруг нейтральной линии поворачивается сечение при изгибе. При изгибе в плоскости симметрии бруса нейтральная линия перпендикулярна оси симметрии сечения.

Выделим двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной (см. рис. 6.10). При нагружении бруса торцевые сечения этого элемента, оставаясь плоскими, повернутся друг относительно друга вокруг своих нейтральных линий на угол а нейтральный слой искривится, и его радиус кривизны станет равным (рис. 6.11).

Сечение может поворачиваться вокруг нейтральной линии и оставаться при этом плоским только при одинаковых удлинениях продольных волокон, расположенных в слоях, параллельных нейтральному.

Определим относительное удлинение волокна находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя. Длина этого волокна до деформации была равна длине нейтрального слоя (нейтральный слой искривляется, но длины не меняет), а после деформации станет равной Тогда

т. е. по высоте сечения удлинения продольных волокон изменяются по линейному закону. Полученный линейный закон распределения деформаций по ширине и высоте сечения является прямым следствием гипотезы плоских сечений.

Введем второе допущение, весьма упрощающее решение задачи о напряжениях при изгибе. Предположим, что продольные волокна при изгибе друг на друга не давят и находятся таким образом в

состоянии одноосного растяжения или сжатия Согласно этому допущению связь между удлинениями волокон и напряжениями а в поперечных сечениях бруса описывается законом Гука для одноосного нагружения: Без такого допущения надо было бы применить закон Гука для трехосного нагружения (см. выражения 2.33).

Подставляя формулу (6.11) в равенство получаем

Итак, напряжения а, как и деформации по ширине сечения постоянны, а по высоте сечения изменяются пропорционально расстоянию точки от нейтральной линии. Эпюра а приведена на рис. 6.11.

Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях бруса при поперечном изгибе:

Этот последний интеграл представляет собой статический момент всего сечения относительно нейтральной линии. Он может быть равен нулю только относительно центральной оси. Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения и поэтому является его нейтральной осью. Кроме того, она перпендикулярна оси симметрии сечения и является поэтому главной осью инерции сечения. Таким образом, при прямом поперечном изгибе нейтральная линия совпадает с главной центральной осью инерции сечения, перпендикулярной плоскости действия нагрузки.

Подставляя закон распределения напряжений (6.12) в уравнение (6.10), получаем

Отсюда находим формулу для определения кривизны нейтрального слоя балки

Последнее уравнение аналогично выражениям и является, в сущности, уравнением деформаций при изгибе.

Исключая из уравнений (6.12) и (6.13) радиус кривизны, находим расчетное уравнение для нормальных напряжений при изгибе

Рис. 6.12

Рис. 6.13

Здесь — момент инерции сечения относительно его нейтральной оси, а у — расстояние от этой оси до точки, в которой определяется напряжение.

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси,

Частное от деления главного момента инерции сечения на расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной от нее точки сечения называется моментом сопротивления изгибу и обозначается или

Таким образом,

Понятие момента сопротивления вводится обычно лишь для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. Момент сопротивления изгибу прямоугольника а кольца с внутренним диаметром и внешним

Для сечения, представленного на рис. 6.12, момент сопротивления вычисляется так:

Следует иметь в виду, что сложной фигуры не равен сумме моментов сопротивления изгибу ее частей.

В предыдущих выводах предполагалось, что брус имеет продольную плоскость симметрии и в этой плоскости действует внешняя нагрузка. Распространим теперь полученные результаты на случай несимметричных сечений (рис. 6.13). Для этого обратимся к уравнениям равновесия отсеченной части бруса (см. разд. 6.2). При чистом изгибе бруса в одной из координатных плоскостей, например нормальные напряжения о, определяемые формулой (6.14),

и касательные удовлетворяют пяти уравнениям равновесия отсеченной части бруса (ем. рис. 6.3) независимо от формы сечения и положения его центральных осей у и только уравнение (6.5)

требует, чтобы был равен нулю интеграл представляющий собой центробежный момент инерции сечения относительно выбранных центральных осей Это условие будет выполнено, ее и оси у и будут главными центральными осями инерции сечения.

Следовательно, расчётное уравнение (6.14) справедливо при любой форме сечения, если только внешняя нагрузка действует в плоскости, содержащей по одной из главных центральных осей инерции всех поперечных сечений. Эта плоскость называется главной плоскостью балки. Таких плоскостей минимум две и они ортогональны. Очевидно, что только при этих же самых условиях будет справедливо и уравнение (6.13) для деформаций при изгибе.