17.7. ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

Этот метод основан на исследовании движения сжатого стержня, получившего малое отклонение от положения равновесия в результате однократного воздействия какой-либо поперечной нагрузки.

Рис. 17.18

При малых значениях сжимающей силы Р такой стержень будет испытывать гармонические колебания с амплитудами, определяемыми начальными отклонениями. В реальных условиях эти колебания быстро затухают из-за действия различного рода сил сопротивления.

Частота колебаний стержня уменьшается с ростом силы Р и для консервативных систем обращается в нуль, когда сила Р достигает критического значения

Если сила Р превысит критическое значение, то частота колебаний станет мнимой величиной, а движение стержня будет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами или апериодическое возрастание прогибов при сколь угодно малых возмущениях.

Таким образом, согласно динамическому критерию устойчивости, условием перехода от устойчивой формы равновесия стержня к неустойчивой является равенство нулю частоты собственных колебаний сжатого стержня (или переход от действительных значений к мнимым).

Покажем справедливость сказанного выше на примере сжатого стержня, шарнирно опертого по концам.

Для составления уравнения свободных колебаний стержня воспользуемся следующим приемом. Запишем сначала приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, сжатого силой Р и изгибаемого поперечной нагрузкой интенсивности (рис. 17.18):

где — изгибающий момент от поперечной нагрузки (см. разд. 18.2).

Дифференцируя последнее равенство дважды по х и учитывая, что получаем

Из (17.24) легко перейти к уравнению поперечных колебаний сжатого стержня, если рассматривать смещения у не только как функцию координат х, но и времени а под попеперечной нагрузкой

понимать, согласно принципу Даламбера, силы инерции массы стержня, погонная интенсивность которых

где — масса единицы длины стержня.

Подставляя (17.25) в правую часть (17.24) и заменяя в левой обыкновенные производные частными, получаем уравнение свободных колебаний сжатого стержня в виде

Решение этого уравнения будем искать в форме

где — неизвестная пока функция времени, — длина стержня, а определяет форму упругой оси стержня при колебаниях.

Выражение (17.27), как нетрудно заметить, удовлетворяет всем граничным условиям задачи, требующим, чтобы на концах стержня обращались в нуль прогибы и изгибающие моменты, т. е. при любом значении Подставляя (17.27) в (17.26), получаем

Последнее равенство будет выполняться при любых х, если будет удовлетворять уравнению

Введя обозначение

запишем (17.29) так:

Здесь — частота свободных колебаний стержня при изгибе его по полуволнам синусоиды, т. е. частота тона колебаний. Решение уравнения (17.31) имеет вид

Следовательно,

Рассмотрим выражение (17.30) для частоты Если разность, стоящая в скобках, будет положительна для любого значения то выражение (17.33) будет представлять гармонические колебания с амплитудами, определяемыми начальным возмущением. Если хотя бы при одном эта разность станет отрицательной, то будет числом мнимым, а колебания, определяемые (17.33), будут происходить с возрастающей амплитудой, поскольку при увеличении времени величина неограниченно возрастают.

Таким образом, прямолинейная форма равновесия стойки, сжатой силой Р, будет устойчивой до тех пор, пока и будет неустойчивой при критерием потери устойчивости рассматриваемого стержня будет обращение в нуль частоты свободных колебаний хотя бы одного тона

Частота основного тона колебаний рассматриваемого стержня (колебания по одной полуволне синусоиды) становится равной нулю, когда сила Р достигает критического значения, равного согласно (17.30)

Этот результат совпадает с полученным ранее (см. 17.7).