5.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО БРУСА КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Определим напряжения и деформации при кручении цилиндрического бруса круглого сечения парами сил, действующими в плоскостях его торцевых сечений (рис. 5.2).

Отметим сразу, что поставленная задача при кручении решается так же, как и аналогичная задача при центральном растяжении (см. разд. 2.4). Более того, сравнивая решения задач определения напряжений при различных видах деформаций (растяжении, кручении, поперечном изгибе и т. нетрудно установить общность метода решений. Уяснение этого обстоятельства учащимися может значительно облегчить им изучение курса сопротивления материалов.

Последовательность решения уже изложена в разд. 2.4. Сначала методом сечений находится зависимость между внешними нагрузками и внутренними силовыми факторами в сечениях бруса. При кручении таким фактором является крутящий момент

Крутящий момент, численное значение которого находится из уравнения (5.1), представляет собой сумму моментов всех внутренних касательных сил упругости в сечении бруса (см. разд. 1.11):

или в более краткой записи

где — плечо элементарной касательной силы — полное касательное напряжение в точке сечения.

Уравнение (5.2) позволяет определить напряжения если известен закон их распределения по сечению. Трудности, возникающие при аналитичесм определении этого закона, заставляют обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.

Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхность, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. Следовательно, можно предположить, что нормальные напряжения в поперечных сечениях такого бруса отсутствуют

Рис. 5.2

Рис. 5.3.

(иначе измерялись бы расстояния между сечениями), а сами сечения поворачиваются вокруг оси бруса как жесткие диски. Последнее предположение равносильно введению сразу двух гипотез — гипотезы плоских сечений и гипотезы о недеформируемости (прямолинейности) радиусов сечений.

Чтобы круглое сечение не деформировалось в своей плоскости и не имело поступательных перемещений, а только поворачивалось вокруг своего центра, касательные напряжения во всех его точках, равноудаленных от этого центра, должны быть равны по величине и направлены по нормалям к радиус-векторам этих точек.

Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса (рис. 5.3). В результате нагружения бруса верхнее сечение элемента повернется относительно нижнего на угол При этом выделенная в верхнем сечении бесконечно малая площадка сдвинется относительно соответствующей ей нижней площадки (рис. 5.3) на угол у. По граням продольного элемента, ограниченного указанными площадками, действуют только касательные напряжения. Следовательно, этот элемент испытывает чистый сдвиг, а у — угол сдвига. Согласно рис. 5.3

Переходя по закону Гука к напряжениям, получаем

Частное от деления абсолютного угла закручивания элемента бруса на длину этого элемента называется относительным углом закручивания и обозначается буквой

Тогда

Рис. 5.4

Таким образом, касательные напряжения в центре сечения равны нулю, растут к периферии сечения по линейному закону и направлены, как указывалось выше, нормально к радиусу сечения (рис. 5.4).

Подставляя найденный закон распределения напряжений (5.5) в равенство (5.2), получаем

где — полярный момент инерции круглого сечения. Отсюда находим расчетное уравнение для относительного угла закручивания бруса

а затем, исключая из равенства (5.5), получаем формулу для напряжений при кручении бруса круглого сечения

Наибольшего значения напряжения достигают в контурных точках сечения при где — радиус сечения:

или

Величину представляющую собой отношение полярного момента инерции сечения к его наибольшему радиусу называют моментом сопротивления кручению. Его размерность Для круглого сечения

Произведение называется жесткостью при кручении; — геометрическая характеристика жесткости сечения, а модуль сдвига — характеристика жесткости материала.

Угол закручивания элемента бруса длиной согласно формулам (5.4) и (5.7)

Угол закручивания всего бруса

Рис. 5.5

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для или различными значениями то

Пределы интегрирования в конкретных задачах проставляются в соответствии с заранее выбранным началом отсчета координаты х.

В частном случае при т. е. только для бруса постоянного сечения, нагруженного но концам сосредоточенными парами,

Полученные в этом разделе уравнения справедливы также и для бруса кольцевого сечения с наружным диаметром и внутренним Только в этом случае и надо вычислять по формулам

Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 5.5.

Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, — так как в таких валах выбран материал в области действия малых напряжений. В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким, чем равнопрочный ему брус сплошного сечения, несмотря на некоторое увеличение наружного диаметра.

Полезно отметить полное совпадение структуры расчетных уравнений для аналогичных факторов при растяжении и кручении.

При растяжении При кручении