6.8. ЦЕНТР ИЗГИБА

Равнодействующая всех внутренних касательных сил в сечении балки при изгибе — перерезывающая сила — приложена в точке плоскости сечения, относительно которой момент всех этих сил равен нулю.

Допустим, что на отсеченную часть бруса действует сосредоточенная внешняя сила Р, проекция которой на плоскость сечения не проходит через указанную точку. Тогда сила Р и равная ей по величине, но противоположно направленная перерезывающая сила образуют в плоскости сечения пару сил, появление которой сопровождается закручиванием бруса в направлении вращения этой пары. Изложенное иллюстрируется рис. 6.25 на примере консольно закрепленного тонкостенного швеллера, а на рис. 6.26 показан характер перемещения торцевого сечения такого бруса в зависимости от взаимного расположения сил Р и

Кручение бруса при поперечном изгибе связано с появлением в его сечениях дополнительной системы касательных сил, равнодействующей которых является крутящий момент, равный по величине моменту пары сил Р и

Если проекция силы Р пройдет через точку приложения силы то крутящий момент будет равен нулю и изгиб бруса не осложнится кручением (см. рис. 6.26).

Точка плоскости сечения, через которую должна проходить плоскость действия поперечной нагрузки, чтобы изгиб бруса не сопровождался кручением, называется центром изгиба, или центром жесткости сечения. Геометрическое место центров изгиба поперечных сечений бруса называется осью центров изгиба.

В толстостенных сечениях центр изгиба расположен вблизи центра тяжести. Однако расстояние между двумя этими точками растет с уменьшением толщины сечения и становится значительным в тонкостенных профилях. Часто центр изгиба тонкостенного сечения находится вне этого сечения.

Из изложенного видно, что точка приложения перерезывающей силы является одновременно и центром изгиба сечения. Следовательно, центр изгиба —это точка, относительно которой момент всех внутренних касательных сил в сечении при изгибе без кручения равен нулю. Вокруг этой точки

Рис. 6.25

Рис. 6.26

Рис. 6.27

вращается вектор перерезывающей силы при изменении наклона плоскости действия внешней поперечной нагрузки. Поэтому центр изгиба обычно определяют как точку пересечения линий действия двух перерезывающих сил соответствующих поперечному изгибу сначала в плоскости параллельной одной, а затем другой главной центральной оси инерции сечения. Такие положения плоскостей изгиба выбираются потому, что только при изгибе в главных плоскостях бруса касательные напряжения допустимо вычислять по формуле (6.19).

В случае симметричных сечений расчеты упрощаются, так как центр изгиба симметричного сечения находится на оси симметрии. При наличии двух осей симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Последовательность определения положения центра изгиба в сечении с одной осью симметрии проследим на примере швеллера (см. рис. 6.25).

Предположим, что центр изгиба А находится на расстоянии слева от стенки швеллера (рис. 6.27). Приложим в этой точке силу направив ее перпендикулярно оси симметрии и определим касательные напряжения в полках и стенке

Здесь

Направление силы и соответствующих ей показано на рис. 6.25.

Применим теперь теорему о равенстве по величине и знаку момента равнодействующей и суммы моментов ее составляющих относительно одной и той же точки. Очевидно, момент силы относительно точки В (рис. 6.27) швеллера будет равен моменту касательной силы в верхней полке относительно той же точки: Знак плюс поставлен в правой части этого равенства потому, что моменты сил и совпадают по направлению. В противном случае моменту силы надо было бы приписать знак минус.

Подсчитывая силу интегрированием по длине полки непосредственно по площади эпюры (см. рис. 6.27), получаем

Следовательно, эксцентриситет

Рис. 6.28

Положительное значение величины показывает, что центр изгиба действительно расположен слева от стенки швеллера.

Заметим, что положение центра изгиба зависит лишь от конфигурации и соотношения размеров сечения, а не от величины силы

В профилях, составленных из пересекающихся в одной точке прямых стенок, называемых профилями-пучками (рис. 6.28), центры изгиба находятся в вершинах пучков, так как относительно этих точек равны нулю моменты касательных сил во всех стенках.

Пример. Определить положение центра изгиба сечения тонкостенной трубы, имеющей тонкий продольный разрез (рис. 6.29). Радиус средней линии сечения а толщина стенки 6.

Решение. Касательные напряжения при изгибе трубы в плоскости, перпендикулярной оси симметрии сечения,

и направлены параллельно касательным к окружности радиуса Поэтому наиболее просто вычисляются моменты касательных сил в сечении относительно его центра.

Приравнивая сумму моментов этих сил моменту равнодействующей относительно той же точки О, получаем

Отсюда

При определении центра изгиба сечения, показаного на рис. 6.30, надо рассмотреть изгиб бруса в горизонтальной плоскости, поскольку сечение имеет вертикальную ось симметрии. Получим

Рис. 6.29

Рис. 6.30