4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых хотя бы одна есть ось симметрии, равен нулю. Действительно, каждому элементу площади в правой половине симметричного сечения (рис. 4.11) всегда соответствует такой же элемент в левой половине. Ординаты центров тяжести этих двух элементов одинаковы, а абсциссы равны по величине, но противоположны по знаку. Поэтому интегралы по площади левой и правой части сечения противоположны по знаку, а их сумма, представляющая собой центробежный момент инерции сечения, равна нулю.

Следовательно, если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции. Любая перпендикулярная к ней ось также является главной, а проходящая, кроме того, через центр тяжести — второй главной центральной осью инерции. Поэтому при определении положения главных осей надо прежде всего обращать внимание на наличие осей симметрии.

Если сечение не имеет осей симметрии, то сначала выбирается рациональная система осей координат, затем вычисляются моменты инерции относительно этих осей и далее по формуле (4.26) определяется угол а, на который нужно повернуть исходные оси, чтобы они стали главными. При положительном оси у и надо поворачивать на угол а против часовой стрелки, а при отрицательном — по часовой стрелке.

Рассмотрим несколько примеров определения главных центральных осей инерции и главных моментов инерции сечений.

Пример. Определить главные центральные оси и главные моменты инерции для сечения, представленного на рис. 4.12.

Решение. Сечение имеет две оси симметрии Следовательно, эти оси являются искомыми главными центральными осями инерции сечения. Дополннм сечение до полного квадрата и определим вычитанием из момента инерции квадрата со стороной 4 см моментов инерции квадратов со стороной 1 см. Учитывая, что по доказанному выше моменты инерции квадратов относительно всех центральных осей одинаковы,

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Рис. 4.14

При вычислении необходимо применить формулу (4.12)

Итак, Заметим, что осью максимального главного Момента инерции всегда будет та, от которой более удалены элементы площади сечения.

Пример. Определить моменты инерции относительно главных нейтральных осей инерции (рис. 4.13).

Решение. Совместим оси и у с горизонтальным и вертикальным участками средней линии уголка и определим положение его центра тяжести:

Проведем через центр тяжести оси и вычислим моменты инерции уголка относительно этих осей. Разбивая уголок на два прямоугольника, как показано на рис. 4.13, с помощью формул (4.12) получаем:

Определим по формуле (4.27) угол а, на который надо повернуть центральные оси чтобы они совпали с главными центральными осями инерции уголка;

Как видно из рис. 4.13, при повороте на угол ось совпадает с первой, а ось второй главной центральной осью инерции уголка (элементы данной фигуры расположены ближе к оси чем к оси 1).

Главные моменты инерции и вычислим по формуле (4.28);

Следовательно,

Пример. Определить главные моменты инерции тонкостенного профиля по» стоянной толщины представленного на рис. 4.14.

Решение. Проведем оси и у, как показано на рис. 4.14, и определим положение центра тяжести профиля

где площади и статические моменты полукольца, вертикального и, горизонтального прямоугольников

Следовательно,

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей инерции

При вычислении поступим так. Сначала определим момент инерции всего сечения относительно оси а затем по формулам (4.12) перейдем к центральной оси Используя результаты разд. 4.4, получим

Первое слагаемое в квадратных скобках, момент инерции горизонтального элемента относительно его собственной центральной оси — весьма мало по сравнению со всеми остальными слагаемыми, так как содержит малую величину в третьей степени.

Такими слагаемыми при расчете тонкостенных сечений обычно пренебрегают, Поэтому

Момент инерции относительно оси