1. Пароход затрачивает время $t_{1}$, чтобы пройти расстояние $a$ вверх по реке, и время $t_{2}$ на обратный путь. Доказать, что скорость парохода относительно воды будет:
\[
\frac{a\left(t_{1}+t_{2}\right)}{2 t_{1} t_{2}} .
\]

Показать, что эта скорость больше скорости, вычисленной по арифметическому среднему из $t_{1} \cdot$ и $_{2}$.
2. Принимая, что ускорение, производимое силою тяжести, на расстоянии луны составляет $\frac{1}{3600}$ часть ускорения на поверхности Земли, выразить его в единицах км/час⿻日土.
$[35,3]$
3. Принимая, что наибольшее допускаемое ускорение при торможении (замедление) поезда составляет 1 м/сек $\kappa^{2}$, найти минимальное время прохождения перегона между двумя станциями при расстоянии между ними 16 км и при максимальной скорости 100 кмічас.
4. Материальная точка подброшена вертикально вверх и находится на высоте $h$ в первый раз по истечении $t_{1}$ секунд и затем снова по истечении $t_{2}$ секунд. Доказать, что
\[
h=\frac{1}{2} g t_{1} t_{2}
\]

и что начальная скорость быда
\[
\frac{1}{2} g\left(t_{1}+t_{2}\right)
\]
5. Скорость поезда увеличивается с постоянным ускорением а от нуля до $v$, sатем остается постоянной в неклтором интервале и, наконец, уменьшается до нуля с постоянным ускорением $\beta$. Обозначая полный пройденный путь через $\iota$, доказать, что полное затраченное время составляет:
\[
\frac{l}{v}+\frac{1}{2} v\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{\beta}\right) \text {. }
\]

Для какого значения скорости $v$ время будет наименьшим?
6. Пуля проходит два последовательных отрезка пути по 45 м соответственно в 0.754 сек. и 0,764 сек. Найти ее ускорение (отрицательное) и скорость на полпути
7. Пуля, летя горизонтально, пробивает последовательно три тонких щита, поставленных на равном расстоянии $a$ один от другого. Пусть время прохождения пули от первого щита до второго составляет $t_{1}$, а от второго до третьего $t_{2}$. Доказать, что величина ускорения (замедление), принимая его постоянным, будет:
\[
\frac{2 a\left(t_{2}-t_{1}\right)}{t_{1} t_{2}\left(t_{1}+t_{2}\right)}
\]

а что скорость в момент пробивания среднего щита равна
\[
\frac{a\left(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\right)}{t_{1} t_{2}\left(t_{1}+t_{2}\right)} .
\]
8. ІІусть координаты точки, движущейся с постоянным ускорением, в моменты времени $t_{1}, t_{2}, t_{2}$ будут соответственно равны $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Доказать, что ускорение точки равно
\[
\frac{2\left[\left(x_{2}-x_{3}\right) t_{1}+\left(x_{3}-x_{1}\right) t_{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right) t_{3}\right]}{\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{3}-t_{1}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)} .
\]
9. Показать, что если точка движется с постолнным ускорением, то среднее вначение скорости по графику, выражающему зависимость скорости от пути, на каком-либо расстоянии 1) будет:
\[
\frac{2}{3} \frac{u_{1}^{2}+u_{1} u_{2}+u_{2}^{2}}{u_{1}+u_{2}},
\]

где $u_{4}, u_{2}$ обозначают начальную и конечную скорости.
Будет ли она больше или меньше среднего значения по графику, выражающему зависимость скорости от времени?
10. Показать графически или иным путем, что следующие три количества, а именно: 1) средняя скорость в данном промежутке времени, 2) арифметическое среднее из начальной и конечной скорости и 3) скорость в средний момент промежутка времени вообще различны.

Показать, что никакие две из этих величин не могут быть всегда равны друг другу, если ускорение непостоянно.
11. Доказать, что если построить кривую, принимая путь, пройденный движущеюся точкою за абсциссу, а скорость за ординату, то ускорение будет измеряться поднормалью.
Проверить это для случая постоянного ускорения.
12. Доказать, что если время $t$ рассматривать как функцию расстояния $x$; то ускорение (замедление) будет:
\[
u^{3} \frac{d^{2} t}{d x^{2}},
\]

где $u$ обозначает скорость.
13. Если $t$ представляет квадратичную функцию от $x$, то ускорение изменяется обратно пропорционально кубу расстояния от неподвижной точки.
14. Если $x^{2}$ представляет квадратичную функцию от $t$, то ускорение изменяется пропорционально величине $\frac{1}{x^{3}}$, за исключением одного частного случая.
15. Если точка описывает с постоянной скоростью параболу, то проекция точки на ось абсцисс имеет ускорение, изменяющееся обратно пропорционально квадрату расстояния от директрисы.
16. Точка $P$ при своем движения с постоянной скоростью описывает прямую динию, а точка $Q$ представляет проекцию $P$ на неподвижную прямую линию, проходящую через неподвижный центр $O$ 2). Доказать, что точка $Q$ движется по
1) Здесь речь идет о среднем значении $\frac{1}{x_{2}-x_{1}} \int_{x_{1}}^{x_{3}} u d x$. Прим. перев.
2) Прямые не лежат в одной плоскости. Прим. перев.

своей прямой с ускорением, изменяющимся пропорционально кубу расстсяния от некоторой неподвижной точки на этой прямой, за исключением одного частного случая.
Как определяется геометрически положение упомянутой неподвижной точки?
17. Д,казать, что точка не может двигаться так, чтобы ее скорость изменялась пропорционально расстоянию, пройденному от начального полсжения $x=0$.

Может ли точка двигаться так, чтобы ее скорость изменялась пропорционально корню квадратному из этого расстояния?
18. Доказать, что если точка движется со скоростью. пропорциснальной расстоянию от неподвижной точки, к которой она пгиближается, то она не может достичь этой точки за конечный промежуток времени.
19. Над скоростью дирижаблт, движушегося горизонтально с выключенными моторами, был сделан ряд последовательных наблюдений. Кигла была построена диаграмма путем аткладывания вдоль оси ординат целичины, обрттой скорости, а вдоль оси абсцисс – времени, то оказалось, что диаграмма представляет прямую линию. Доказать, что ускорение (замедление) дирижабля изменяется пропорционально квадрату скорости.

Какой вид будет иметь соответствующая диаграмма для соотношения между скоростью и пройденным путем?
20. Кривошнп $O Q$ вращается около точки $O$ с постояннєю угловою скоростью $\omega$; с кривошипом при помоши пальца $Q$ соединен шатун $Q P$. Друюой конец $P$ шатуна вынужген двигаться шо прямой линии, проходящсй через $O$ (см. Статику’). Пүсть $O Q=a, Q P=l$ и $\angle Q O P=0$. Доказать, что ускорение точки $P$ выражается приближенною формулою:
\[
\omega^{2} a \cos \theta+\frac{\omega^{2} a^{2}}{l} \cos 2 \theta,
\]

если $\frac{a}{l}$ представляет малую величину.