Возвратимся к общему уравнению (1) § 38, относящемуся к колебаниям точки на гладкой кривой любой формы. Для достаточно малых амплитуд можно развернуть далее приближенный метод § 2. Так как этот вопрос дает хорошую иллюстрацию часто применяемых в динамике методов, то мы. уделим ему здесь небольшое место.

Предположим, что при малых значениях $s$ высоту материальной точки над уровнем положения равновесия можно выразить формулой:
$$y=\frac{1}{2}c{s}^2+\frac{1}{6}{c}^{\prime }{s}^3+\frac{1}{24}{c}^{\prime \prime }{s}^4+\dots ,$$

причем первые два члена разложения в ряд отсүтствуют, так как при $s=0$ мы имеем $y=0$ и $\frac{dy}{ds}=0$. Значения коэфнииентов $c_2{c}^{\prime },c^{\prime \prime },\dots \dots$ можно найти путем диференцирования. Так. например,
$$\begin{array}{r}\sin \varphi =cs+\frac{1}{2}{c}^{\prime }{s}^2+\frac{1}{6}{c}^{\prime \prime }{s}^3+\dots \\ \cos \varphi \frac{d\psi }{ds}=c+c^{\prime }s+\frac{1}{2}{c}^{\prime \prime }s+\dots ,\\ \cos \psi \frac{d^2\psi }{d{s}^2}-\sin \psi {\left(\frac{d\psi }{ds}\right)}^2=c^{\prime }+c^{\prime \prime }+\dots ,\\ \cos \psi \frac{d^3\psi }{d{s}^3}-3\sin \psi \frac{d\psi }{ds}\cdot \frac{d^2\psi }{d{s}^2}-\cos \psi {\left(\frac{d\psi }{ds}\right)}^s=c^{\prime \prime }+\dots ,\end{array}$$

Полагая в этих формулах $\psi =0,s=0$, мы найдем, что $c$ обозначает кривизну $(p^{-1}$ ) в начале координат, а $c^{\prime },c^{\prime \prime },\dots$ выражаются формулами:
$$c^{\prime }=\frac{d{\rho }^{-1}}{ds},c^{\prime \prime }=\frac{d^2{\rho }^{-1}}{d{s}^2}-c^3,\dots ,$$
rде значения производных относятся к началу координат.
На основании (2) уравнение движения [§ 38 , (1)] примет вид:
$$\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=-g(cs+\frac{1}{2}{c}^{\prime }{s}^2+\frac{1}{6}{c}^{\prime \prime }{s}^3+\dots );$$

это уравнение решается путем последовательных приближений, Пренебрегая величиной $s^2$, мы имеем решение:
$$s=\beta \cos (nt+\epsilon )\text{, }$$

при условии
$$n^2=gc;$$

это решение, конечно, эквивалентно решениям, полученным нами раньше. Для получения второго приближения представим уравнение в следующем виде:
$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}s}{d{t}^2}+n^{2}s& =-\frac{1}{2}g{c}^{\prime }{s}^2=-\frac{1}{2}g{c}^{\prime }{\beta }^2{\cos }^2(nt+\epsilon )=\\ & =-\frac{1}{4}g{c}^{\prime }{\beta }^2[1+\cos 2(nt+\epsilon )],\end{array}$$

где ошибка, получающаяся при подстановке приближенного значения $s$ в малый член второго порядка правой части, будет порядка $s^3$. Решение уравнения (10), уточняющее первое приближение, будет:
$$s=\beta \cos (nt+\epsilon )-\frac{g{c}^{\prime }{\beta }^2}{4n^2}+\frac{g{c}^{\prime }{\beta }^2}{12n^2}{\cos }^2(nt+\epsilon ),$$

как это легко проверить путем непосредственного диференцирования. Хотя движение не является больше простым гармоническим, все же промежуток времени $\frac{2\pi }{n}$ между двумя последовательными прохождениями точки через одно и то же положение в одном и том же направлении с точностью, соответствующей порядку приближения, не изменился.

Мы получим крайние положения, положив соответственно $nt+\epsilon =0$ и $\pi$; следовательно, мы будем иметь:
$$s_1=\beta -\frac{g{c}^{\prime }{\beta }^2}{6n^2},s_2=-\beta -\frac{g{c}^{\prime }{\beta }^2}{6n^2};$$

среднее арифметическое этих значений равно:
$$s=-\frac{g{c}^{\prime }{\beta }^2}{6n^2}=-\frac{c^{\prime }{\beta }^2}{6c}.$$

Чтобы применить эти выводы к случаю, рассматриваемому в § 36 , пример 2, мы должны положить, как в этом легко убедиться,
$$c=\frac{1}{l},c^{\prime }=-\frac{a}{l^3};$$

легко показать, что формулы (12) совпадут с формулою (17) § 36.
Если мы перейдем к третьему приближению, то у нас возникнут новые привходящие обстолтельства. Это можно показать достаточно отчетливо, и вычисления при этом несколько сократятся, если мы предположим, что кривая симметрична относительно положения равновесия, так что $c^{\prime }=0$. Тогда подлежащее решению уравнение примет вид:
$$\frac{d^{2}s}{a{t}^2}+n^{2}s=-\frac{1}{6}g{c}^{\prime \prime }{s}^3.$$

Подставив в правую часть значение $s$ из (8), мы получим:
$$\frac{d^{2}s}{d{t}^2}+n^{2}s=-\frac{1}{24}g{c}^{\prime \prime }{\beta }^3[3\cos (nt+\epsilon )+\cos 3(nt+\epsilon )].$$

Если мы будем интегрировать это уравнение обычным методом, то в окончательном результате, как и в § 13 (11), получим член:
$$-\frac{g{c}^{\prime \prime }{\beta }^3}{16n}t\sin (nt+\epsilon )\text{. }$$

Отсюда видно, что полученное таким путем решение в некоторый момент времени перестанет быть совместимым с основным предположением о малости $s$. Этого можно было действительно ожидать в частном случае кругового маятника. В самом деле, мы видели, что такой маятник будет все больше и больше выходить из синхронизма с маятником одинаковой длины, колеблющимся с бесконечно малою амплитудою, что происходит вследствие увеличения периода вместе с амплитудою.

Это показывает, что в качестве первого приближения мы должны взять:
$$s=\beta \cos (ut+\epsilon ),$$

где $у$ несколько отличается от $n$ на величину, подлежащую определению. Поэтому заменим количество $n$, входящее в правую часть уравнения (15), через ข. Если мы теперь положим
$$s=\beta \cos (ut+\epsilon )+C\cos 3(ut+\epsilon ),$$

то после подстановки найдем, что уравнение, измененное таким образом, будет удовлетворяться при условиях:
$$(n^2-u^2)\beta =-\frac{1}{8}g{c}^{\prime \prime }{\beta }^3,(n^2-9u^2)C=-\frac{1}{24}g{c}^{\prime \prime }{\beta }^3,\dots .$$
т. е. приближенно при
\[

u=n^{2}+\frac{1}{8} \cdot g^{\prime \prime} \beta^{2}
\]

и.
$$C=\frac{g{c}^{\prime \prime }{\beta }^3}{192n^2}.$$

Первое из полученных равенств можно представить в виде:
\[

u^{2}=n^{2}\left(1+\frac{c^{\prime \prime} \beta^{2}}{8 c}\right),
\]

и, следовательно, измененный период будет иметь ппиближенную величину ${}^3)$ :
$$T=\frac{2\pi }{u}=\frac{2\pi }{n}(1-\frac{c^{\prime \prime }{\beta }^2}{16c}).$$

В случае кругового маятника будем иметь:
$$c=\frac{1}{l},c^{\prime \prime }=-\frac{1}{l^3},$$

и формула (22). примет вид:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}(1+\frac{{\beta }^2}{16l^2});$$

она в пределах точности нашего приближения совпадает с формулою (18) $\mathrm{\S }37$. В циклоидальном маятнике $c^{\prime \prime }=0$, и поправочный член пропадает.