Возвратимся к общему уравнению (1) § 38, относящемуся к колебаниям точки на гладкой кривой любой формы. Для достаточно малых амплитуд можно развернуть далее приближенный метод § 2. Так как этот вопрос дает хорошую иллюстрацию часто применяемых в динамике методов, то мы. уделим ему здесь небольшое место.

Предположим, что при малых значениях $s$ высоту материальной точки над уровнем положения равновесия можно выразить формулой:
\[
y=\frac{1}{2} c s^{2}+\frac{1}{6} c^{\prime} s^{3}+\frac{1}{24} c^{\prime \prime} s^{4}+\ldots,
\]

причем первые два члена разложения в ряд отсүтствуют, так как при $s=0$ мы имеем $y=0$ и $\frac{d y}{d s}=0$. Значения коэфнииентов $c_{2} c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots \ldots$ можно найти путем диференцирования. Так. например,
\[
\begin{array}{r}
\sin \phi=c s+\frac{1}{2} c^{\prime} s^{2}+\frac{1}{6} c^{\prime \prime} s^{3}+\ldots \\
\cos \phi \frac{d \psi}{d s}=c+c^{\prime} s+\frac{1}{2} c^{\prime \prime} s+\ldots, \\
\cos \psi \frac{d^{2} \psi}{d s^{2}}-\sin \psi\left(\frac{d \psi}{d s}\right)^{2}=c^{\prime}+\quad c^{\prime \prime}+\ldots, \\
\cos \psi \frac{d^{3} \psi}{d s^{3}}-3 \sin \psi \frac{d \psi}{d s} \cdot \frac{d^{2} \psi}{d s^{2}}-\cos \psi\left(\frac{d \psi}{d s}\right)^{s}=\quad c^{\prime \prime}+\ldots,
\end{array}
\]

Полагая в этих формулах $\psi=0, s=0$, мы найдем, что $c$ обозначает кривизну $\left(p^{-1}\right.$ ) в начале координат, а $c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$ выражаются формулами:
\[
c^{\prime}=\frac{d \rho^{-1}}{d s}, \quad c^{\prime \prime}=\frac{d^{2} \rho^{-1}}{d s^{2}}-c^{3}, \ldots,
\]
rде значения производных относятся к началу координат.
На основании (2) уравнение движения [§ 38 , (1)] примет вид:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}=-g\left(c s+\frac{1}{2} c^{\prime} s^{2}+\frac{1}{6} c^{\prime \prime} s^{3}+\ldots\right) ;
\]

это уравнение решается путем последовательных приближений, Пренебрегая величиной $s^{2}$, мы имеем решение:
\[
s=\beta \cos (n t+\varepsilon) \text {, }
\]

при условии
\[
n^{2}=g c ;
\]

это решение, конечно, эквивалентно решениям, полученным нами раньше. Для получения второго приближения представим уравнение в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}+n^{2} s & =-\frac{1}{2} g c^{\prime} s^{2}=-\frac{1}{2} g c^{\prime} \beta^{2} \cos ^{2}(n t+\varepsilon)= \\
& =-\frac{1}{4} g c^{\prime} \beta^{2}[1+\cos 2(n t+\varepsilon)],
\end{aligned}
\]

где ошибка, получающаяся при подстановке приближенного значения $s$ в малый член второго порядка правой части, будет порядка $s^{3}$. Решение уравнения (10), уточняющее первое приближение, будет:
\[
s=\beta \cos (n t+\varepsilon)-\frac{g c^{\prime} \beta^{2}}{4 n^{2}}+\frac{g c^{\prime} \beta^{2}}{12 n^{2}} \cos ^{2}(n t+\varepsilon),
\]

как это легко проверить путем непосредственного диференцирования. Хотя движение не является больше простым гармоническим, все же промежуток времени $\frac{2 \pi}{n}$ между двумя последовательными прохождениями точки через одно и то же положение в одном и том же направлении с точностью, соответствующей порядку приближения, не изменился.

Мы получим крайние положения, положив соответственно $n t+\varepsilon=0$ и $\pi$; следовательно, мы будем иметь:
\[
s_{1}=\beta-\frac{g c^{\prime} \beta^{2}}{6 n^{2}}, \quad s_{2}=-\beta-\frac{g c^{\prime} \beta^{2}}{6 n^{2}} ;
\]

среднее арифметическое этих значений равно:
\[
s=-\frac{g c^{\prime} \beta^{2}}{6 n^{2}}=-\frac{c^{\prime} \beta^{2}}{6 c} .
\]

Чтобы применить эти выводы к случаю, рассматриваемому в § 36 , пример 2, мы должны положить, как в этом легко убедиться,
\[
c=\frac{1}{l}, \quad c^{\prime}=-\frac{a}{l^{3}} ;
\]

легко показать, что формулы (12) совпадут с формулою (17) § 36.
Если мы перейдем к третьему приближению, то у нас возникнут новые привходящие обстолтельства. Это можно показать достаточно отчетливо, и вычисления при этом несколько сократятся, если мы предположим, что кривая симметрична относительно положения равновесия, так что $c^{\prime}=0$. Тогда подлежащее решению уравнение примет вид:
\[
\frac{d^{2} s}{a t^{2}}+n^{2} s=-\frac{1}{6} g c^{\prime \prime} s^{3} .
\]

Подставив в правую часть значение $s$ из (8), мы получим:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}+n^{2} s=-\frac{1}{24} g c^{\prime \prime} \beta^{3}[3 \cos (n t+\varepsilon)+\cos 3(n t+\varepsilon)] .
\]

Если мы будем интегрировать это уравнение обычным методом, то в окончательном результате, как и в § 13 (11), получим член:
\[
-\frac{g c^{\prime \prime} \beta^{3}}{16 n} t \sin (n t+\varepsilon) \text {. }
\]

Отсюда видно, что полученное таким путем решение в некоторый момент времени перестанет быть совместимым с основным предположением о малости $s$. Этого можно было действительно ожидать в частном случае кругового маятника. В самом деле, мы видели, что такой маятник будет все больше и больше выходить из синхронизма с маятником одинаковой длины, колеблющимся с бесконечно малою амплитудою, что происходит вследствие увеличения периода вместе с амплитудою.

Это показывает, что в качестве первого приближения мы должны взять:
\[
s=\beta \cos (
u t+\varepsilon),
\]

где $у$ несколько отличается от $n$ на величину, подлежащую определению. Поэтому заменим количество $n$, входящее в правую часть уравнения (15), через ข. Если мы теперь положим
\[
s=\beta \cos (
u t+\varepsilon)+C \cos 3(
u t+\varepsilon),
\]

то после подстановки найдем, что уравнение, измененное таким образом, будет удовлетворяться при условиях:
\[
\left(n^{2}-
u^{2}\right) \beta=-\frac{1}{8} g c^{\prime \prime} \beta^{3}, \quad\left(n^{2}-9
u^{2}\right) C=-\frac{1}{24} g c^{\prime \prime} \beta^{3}, \ldots .
\]
т. е. приближенно при
\[

u=n^{2}+\frac{1}{8} \cdot g^{\prime \prime} \beta^{2}
\]

и.
\[
C=\frac{g c^{\prime \prime} \beta^{3}}{192 n^{2}} .
\]

Первое из полученных равенств можно представить в виде:
\[

u^{2}=n^{2}\left(1+\frac{c^{\prime \prime} \beta^{2}}{8 c}\right),
\]

и, следовательно, измененный период будет иметь ппиближенную величину $\left.{ }^{3}\right)$ :
\[
T=\frac{2 \pi}{
u}=\frac{2 \pi}{n}\left(1-\frac{c^{\prime \prime} \beta^{2}}{16 c}\right) .
\]

В случае кругового маятника будем иметь:
\[
c=\frac{1}{l}, \quad c^{\prime \prime}=-\frac{1}{l^{3}},
\]

и формула (22). примет вид:
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{\beta^{2}}{16 l^{2}}\right) ;
\]

она в пределах точности нашего приближения совпадает с формулою (18) $\S 37$. В циклоидальном маятнике $c^{\prime \prime}=0$, и поправочный член пропадает.