Рассматривая сперва случай прямолинейного движения, положим:
\[
x_{1}=\bar{x}+\xi_{1}, \quad x_{2}=\bar{x}+\xi_{2},
\]

так что $\xi_{1}, \xi_{2}$ представляют координаты обеих точек относительно центра масс. Мы имеем тогда („Сталика“, § 66):
\[
m_{1} \xi_{1}+m_{2} \xi_{2}=0 \text {. }
\]

Диференцируя (1), получим:
\[
u_{1}=\frac{d x_{1}}{d t}=\bar{u}+\dot{\xi}_{1}, \quad u_{2}=\frac{d x_{2}}{d t}=\bar{u}+\dot{\xi}_{2},
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} & =\frac{1}{2} m_{1}\left(\bar{u}+\dot{\xi}_{1}\right)^{2}+\frac{1}{2} m_{2}\left(\vec{u}+\dot{\xi}_{2}\right)^{2}= \\
& =\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \overline{u^{2}}+\frac{1}{2} m_{1} \dot{\xi}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} \dot{\xi}_{2}^{2},
\end{aligned}
\]

так как на основании (2):
\[
\bar{u}\left(m_{1} \dot{\xi}_{1}+m_{2} \dot{\xi}_{2}\right)=\bar{u} \cdot \frac{d}{d t}\left(m_{1} \xi_{1}+m_{2} \xi_{2}\right)=0 .
\]

Таким образом кинетическая энергия системы равна сумме двух слагаемых, а именно: 1) кинегической энергии
\[
\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \vec{u}^{2}
\]
1) Эти вычисления в основном принадлежат Джоулю (1851).

всей массы, предполагая, что она движется со скоростью центра масс, и 2) слагаемого
\[
\frac{1}{2} m_{1} \dot{\xi}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} \dot{\xi}_{2}^{2}
\]

которое можно определить как кинетическую энергию движения точек относительно центра масс. Сқазанное в § 40 показывает, что только второе слагаемое может зависеть от сил взаимодействия точек.

Кинетическая энергия относительного движения может быть выражена через скорости каждой из точек относительно другой. Іа основании (3) мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\xi}_{1}=u_{1}-\frac{m_{1} u_{1}+m_{n} u_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{2}\left(u_{1}-u_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}}, \\
\dot{\xi}_{2}=u_{2}-\frac{m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\left(u_{2}-u_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}},
\end{array}\right\}
\]

откуда
\[
\frac{1}{2} m_{1} \dot{\xi}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} \dot{\xi}_{2}^{2}=\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{9}}{m_{1}+m_{2}}\left(u_{1}-u_{2}\right)^{2} .
\]

Отсюда следует, что при прямом ударе шаров потеря кинетической энергии, согласно эмпирическому предноложению, формулированному в $\S 41$, будет:
\[
\frac{1}{2} \frac{m_{2} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(1-e^{2}\right)\left(u_{1}-u_{2}\right)^{2} .
\]

Нетрудно обобщить предыдущие результаты на случай движения в дзух или трех измерениях. Так, в случае двух измерений кинетическая энергия движения относительно центра масс будег:
\[
\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{9}}{m_{1}+m_{2}}\left[\left(u_{1}-u_{2}\right)^{2}+\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}\right] .
\]

Последний множитель представляет квадрат скорости каждой точки относительно другой.

ПРимер 1. Если масса $m_{1}$ ударяется о массу $m_{2}$, находящуюся в покое, а коэфициент восстановления $e$ равен нулю, то согласно (9) потеря кинетической энергии при ударе будет:
\[
\frac{1}{2} \frac{m m_{2}}{m_{1}+m_{2}} u_{1}^{2} \text {. }
\]

Следовательно, отношение потери кинетической энергии к первоначальной өнергии $\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$ равно:
\[
\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Если $m_{1}$ в сравнении с $m_{2}$ велико, как в случае, когда тяжелым грузом забивают в землю сваю. застаєляя груз падать на сваю, или когда гвоздь заби. вают в дерево молотком, то это оюношение мано, и, слеговательно, утилизируется почти вся первоначальная кинетнческая энергия (на преодоление сопрстивления).

Но если масса $m_{1}$ в сравнении с $m_{2}$ мала, то это отношение почти равно единице, и кинетическая энергия почти целиком затрачивается на деформацию поверхности одного или другого из двух тел.

Пример 2. В случае движения в плоскости двух материальных точек, связанных между собой нерастяжимою нитьк длины $a$, относительная скорость будет $\omega a$, где $\omega$ представлнет угловую скорость нити. Следовательно, выражение (10) будет равно:
\[
\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \omega^{2} a^{2} \text {. }
\]

Если внешних сил нет, то это количество должно быть постоянным, а следовательно, будет постояина и угловая скорость $\omega$.