Решение наиболее общего уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=f(t)
\]

где $f(t)$ представляет ускорение, сообщаемое произвольною возмущающею силою, можно привести как иллюстрацию метода вариации (изменения) произвольных постоянных, применяемого в теории интегрирования диференциальных уравнений.

Если бы в момент времени $t$ возмущающая сила перестала действовать, то материальная точка стала бы совершать простые гармонические колебания:
\[
x^{\prime}=A \cos n t^{\prime}+B \sin n t^{\prime} ;
\]

где $t^{\prime}$ в этом предположенном свободном колебательном движении обозначает время, отсчитываемое от того же начального момента, что и $t$. Коэфициенты $A$ и $B$ определяются на основании условия, что при $t^{\prime} \doteq t$ перемещение и скорость, вычисленные по формуле (2), должны совпадать с их значениями, получающимися в тот же момент в действительном движении. Другими словами, мы должны иметь:
\[
A \cos n t+B \sin n t=x
\]

и
\[
-n A \sin n t+n B \cos n t=\frac{d x}{d t} \text {, }
\]

где $x$ и $\frac{d x}{d t}$ относятся к действительному движению. При помощи этих уравнений мы можем определить коэфициенты $A$ и $B$ как функции того момента времени $t$, в который, по нашему предположению, возмущающая сила перестала действовать. Следовательно, диференцируя (3), мы имеем:
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{d A}{d t} \cos n t+\frac{d B}{d t} \sin n t-n A \sin n t+n B \cos n t,
\]

что на основании (3) сводится к уравнению:
\[
\frac{d A}{d t} \cos n t+\frac{d B}{d t} \sin n t=0 .
\]

С другой стороны, диференцируя (4), имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} & =-n^{2} A \cos n t-n^{2} B \sin n t-n \frac{d A}{d t} \sin n t+n \frac{d B}{d t} \cos n t= \\
& =-n^{2} x-n \frac{d A}{d t} \sin n t+n \frac{d B}{d t} \cos n t,
\end{aligned}
\]

откуда
\[
-n \frac{d A}{d t} \sin n t+n \frac{d B}{d t} \cos n t=f(t) .
\]

Решая систему уравнений (5) и (6) относительно $\frac{d A}{d t}$ и $\frac{d B}{d t}$, находим;
\[
\frac{d A}{d t}=-\frac{1}{n} f(t) \sin n t, \quad \frac{d B}{d t}=\frac{1}{n} f(t) \cos n t,
\]

откуда
\[
A=-\frac{1}{n} \int f(t) \sin n t d t, \quad B=\frac{1}{n} \int f(t) \cos n t d t .
\]

Конечно, каждый из этих интегралов содержит дополнительное произвольное постоянное. Формула
\[
x=A \cos n t+B \sin n t
\]

с значениями $A$ и $B$, определяемыми по формулам (8), дает искомое решение. Eго легко проверить путем диференцирования.

Если материальная точка первоначально находилась в равновесии, то начальные значения $A$ и $B$ будут равны нулю. Если, кроме того, возмущающая сила $f(t)$ будет иметь заметную величину только для конечного промежутка значений $t$, то нижний предел интегрирования можно сделать равным – $\infty$. С другой стороны, после момента прекращения дейсıвия силы за верхний предел значений $t$ можно взять $+\infty$.

Само собой разумеется, что действие в момент времени $t=0$ импульса, сообщающего мгноьенную скорость $u_{1}$, выражается формулой:
\[
x=\frac{u_{1}}{n} \sin n t .
\]

Если тот же импульс будет распределен на конечный промежуток времени, го амплитуда последующего колебания будет меньше при условии, что сила всегда имеег один и тот же знак. Чтобы показать это, мы можем взять случай
\[
f(t)=\frac{u_{4} \tau}{\pi\left(t^{2}+\tau^{2}\right)} .
\]

Пгавда, здесь возмущающап сила не имеет ни определенного начального момента ее действия, ни определенного конечного момента, но если $t$ в сравнении с : велико, то, будет ли оно положительно или отрицательно, значение $f(t)$ будет очень мало 1). Коэфициент в (11) выбран так, чтобы было
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t=u_{t}
\]

Далее мы имеем 9):
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin n t d t=0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos n t d t=u_{1} e^{-n t} .
\]
1) График функции (11) дан для другой цели в § 95.
2) Первыи интеграл ббащается в нуль вследствие взаимного уничтожения положительных и отрицательных элементов с одинаковыми абсолютными значениями. Второе равенство вытекает из формулы
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{co} a x}{x^{2}+b^{2}}=\frac{\pi}{2 b} e^{-a b},
\]

правильность которой показывается в интегральном исчислении.

Следовательно, остаточные колебания будут происходить согласно формуле:
\[
x=\frac{u_{1}}{n} e-t \tau \sin n t \text {. }
\]

Чем больше значение т, тем больше продолжительность действия импульса; множитель $e^{-n \tau}$ показывает, как это отражается на амплитуде. Влияние этого множителя при данном значении т тем больше, чем больше частота $\frac{n}{2 \pi}$ свободных (собственных) колебаний.