Пусть будет $l$ длина маятника и $\theta$-угол наклона в любой момент к вертикали (фиг. 35). Так как касательное ускорение равно $l \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}$, то согласно сказанному в $\S 34$, мы имеем:
\[
l \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-g \sin \theta
\]

или
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+n^{2} \sin \theta=0,
\]

где
\[
n^{2}=\frac{g}{l} .
\]

Если угол $\theta$ всегда мал, то мы можем приближенно заменить $\sin \theta$ на $\theta$; решение уравнения (2) при такой замене будет:
\[
\theta=a \cos (n t+\varepsilon),
\]

где $a$ и $\varepsilon$ обозначают произвольные постоянные. Следовательно, период полного колебания будет равен:
\[
T=\frac{2 \pi}{n}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}},
\]

как в § 11 .
Мы рассмотрим теперь случай колебаний с конечною амплитудою $\alpha$. Уравнение энергии [§ 36, (5)] дает:
\[
l\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=2 g \cos \theta+C,
\]

что получается также из (1), если обе части умножить на $\frac{d \theta}{d t}$ и проинтегрировать по $t$.
Фиг. 35.
Если мы предположим, что $\frac{d \theta}{d t}=0$ при $\theta=\alpha$, то получим:
\[
C=-2 g \cos \alpha \text {, }
\]

и
\[
\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=2 n^{2}(\cos \theta-\cos \alpha)=4 n^{2}\left(\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha-\sin ^{2} \frac{1}{2} \theta\right) .
\]

Следовательно, рассматривая движение, начиная от вертикали, в направлении положительного изменения углов $\theta$, мы имеем:
\[
\frac{n d t}{d \theta}=\frac{1}{2 \sqrt{\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha-\sin ^{2} \frac{1}{2} \theta}} .
\]

Для интегрирования в конечной форме необходимо применение эллиптических функций. Чтобы выполнить его в эллиптических функциях нормального типа, мы введем новое переменное $\varphi$, связанное со старым соотношением:
\[
\sin \frac{1}{2} \theta=\sin \frac{1}{2} \alpha \sin \varphi
\]

следовательно, при движении из вертикального положения угол $\varphi$ изменяется от 0 до $\frac{1}{2} \pi$. Отсюда получаем:
\[
\frac{n d t}{d \theta}=\frac{1}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \varphi},
\]

и, диференцируя (9), находим:
\[
\frac{d \theta}{d \varphi}=\frac{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \varphi}{\cos \frac{1}{2} \theta} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{n d t}{d \varphi}=\frac{n d t}{d \theta} \frac{d \theta}{d \varphi}=\frac{1}{\cos \frac{1}{2} \theta}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{2} \varphi}} .
\]

Таким образом время $t$ отклонения на угол $\theta$ определяется по формуле:
\[
n t=\int_{0}^{\varphi} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{2} \varphi}},
\]

причем верхний предел $\varphi$ связан с $\theta$ при помощи формулы (9).
При применении обычного обозначения для эллиптического интеграла первого рода („Статика“, § 127) мы имеем:
\[
n t=F\left(\sin \frac{1}{2} \alpha, \varphi\right) \text {. }
\]

Чтобы найти время полного колебания, мы должны положить $\varphi=\frac{1}{2} \pi$ и умножить полученное значение $t$ на 4. Следовательно, период будет равен:
\[
T=\frac{4}{n} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{2} \varphi}}=\frac{4}{n} F\left(\sin \frac{1}{2} \alpha\right),
\]

где $F_{1}$ обозначает „полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $\sin \frac{1}{2} a$. Отношение этого периода к периоду- колебаний с бесконечно малой амплитудой будет равно:
\[
\frac{2}{\pi} F_{1}\left(\sin \frac{1}{2} \alpha\right) \text {. }
\]

Для этой величины при помощи таблицы эллиптических интегралов составлена таблица, помещаемая ниже. Результаты показаны графически на фиг. 36 .

Выражение для периода можно также получить в форме бесконечного ряда следующим образом. Мы имеем:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{4}{n} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi}\left(1-\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{2} \varphi\right)^{-\frac{1}{2}} d \varphi= \\
& =\frac{4}{n} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi}\left(1+\frac{1}{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{2} \varphi+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \sin ^{4} \frac{1}{2} \alpha \sin ^{4} \varphi+\ldots\right) d \varphi= \\
& =\frac{2 \pi}{n}\left(1+\frac{1^{2}}{2^{2}} \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha+\frac{1^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2} \cdot 4^{2}} \sin ^{4} \frac{1}{2} a+\ldots\right) .
\end{aligned}
\]
1) На основании формулы
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \sin ^{2 s} \varphi d \varphi=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 s-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 s} \cdot \frac{\pi}{2} .
\]

Если угол $\alpha$ мал, то величина членов быстро уменьшается. Первое приближение будет:
\[
T=\frac{2 \pi}{n} \text { или } 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}},
\]
a второе:
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha\right) \text {. }
\]

Поправочный член доходит до одной тысячной, когда $\sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha=0,004$, или $\sin \frac{1}{2} \alpha=0,0632$, или приближенно $\alpha=7^{\circ} 12^{\prime}$.

Существует только один случай, когда уравнение (8) можно проинтегрировать в конечной форме в обыкновенных функциях, а именно, когда $\alpha=\pi$, т. е. маятник начинает двигаться как раз из положения неустойчивого равновесия. В этом случае мы имеем:
\[
n \frac{d i}{d \theta}=\frac{1}{2 \cos \frac{1}{2} \theta},
\]

откуда
\[
n t=\ln \operatorname{tg}\left(\frac{1}{4} \pi+\frac{1}{4} \theta\right),
\]

причем, если $t=0$ при $\theta=0$, то добавление произвольного постоянного не требуется.

Натяжение $S$ нити (или легкого стержня), поддерживающей груз, можно найти для любого положения маятника, рассмотрев величину нормального ускорения. Мы имеем:
\[
m l\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=S-m g \cos \theta .
\]

Делая подстановку из (6), получим
\[
S=m(3 g \cos \theta+C) .
\]

Если при $\theta=\alpha$ скорость обращается в нуль, то $C=-2 g \cos \alpha$, и
\[
S=m g(3 \cos \theta-2 \cos \alpha) .
\]

Обозначая через ю угловую скорость маятника при $\theta=0$, на основании (6) имеем:
\[
\omega^{2} l=2 g+C \text {, }
\]

так что
\[
\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}=\omega^{2}-2 n^{2}(1-\cos \theta)=\omega^{2}-4 n^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta .
\]

Если маятник вращается все время в одном направлении, то эта величина при $\theta=\pi$ должна быть положительною, что требует выполнения неравенства $\omega^{2}>4 n^{2}$. Следовательно, полагая
\[
k=\frac{2 n}{\omega},
\]

циклоидАльный мАятник
101
получим:
\[
\frac{\omega d t}{d \theta^{\prime}}=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta}},
\]

или
\[
\omega t=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}}=2 F\left(k, \frac{1}{2} \theta\right)
\]

Эта формула определяет время движения маятника от наиболее пиякого положения груза до любого другого положения в вределах до $\theta=\pi$. Следовательно время прихода груза в самое верхнее положение будет:
\[
\frac{2}{\omega} F_{1}\left(\frac{2 n}{\omega}\right)
\]

Натяжение нити опренынотоя по формуле:
\[
S=3 m g \cos \theta-2 m g+m \omega^{2} t .
\]

Для того чтобы эта величина была положительною при $0=\pi$, мы должны иметь:
\[
\omega^{2}>\frac{5 g}{l} \text {. }
\]

Ингересное видоизменение задачн данного типа представляет случай движения материальной точкн по гладкои окружности в плоскости, составляющей угол $\beta$ с горизонтом В этом случае вес материальной точки можно разложить на составляющую $m g \sin \beta$, направленную вдоль плоскости по линии наибольшего скат, и на составляющую $m g \cos \beta$, перпендикулярнүю к плоскости. Последняя составляюшая пооизводит только давление на плоскость. Следовательно, движение по кругу подходит под условия предыдущей задачи, если только мы заменим $g$ на $g \sin \beta$. В частности, если радиус круга будет $a$, то период малых колебаний будет:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{a}{g \sin \beta}},
\]
т. е. такой же, как и для маятника длины
\[
l=\frac{a}{\sin \beta} \text {. }
\]

Делая $\beta$ очень малым, мы можем сделать длину эквивалентного маятника очень большою. К этому и сводится теория так называемого \”горизонтальнога маятника“ применяемого в инструмеңтах для регистрации землетрясении или для измерения возмущения силы тяжести луною. Маятник делают с относительно тяжелой массой поддерживаемой стержнем, который может вращаться свободно около оси составляюшей неоольшой угол $\beta$ с вертикалью (см, § 67, фиг. 62)