Методы определения значения $g$ в какой либо местности основываются на применении формулы:
\[
g=\frac{4 \pi^{2} l}{T^{2}}
\]

выведенной в § 11. Конечно, идеальный математический маятник, рассмотренный там, осуществить нельзя, и на практике количество $l$
1) Это предложение принадлежит Гюйгенсу. См. примечание на стр. 102.

представляет длину математического маятника, „эквивалентного“ некоторому физическому маятнику той или другой формы, который и применяется в действительности.

Период $T$ полного колебания с малою амплитудою можно найти очень точно, сосчитав большое число колебаний и заметив соответствующее время. Практическая трудность заключается главным образом в нахождении $l$. Для точного измерения $g$ можно итти двумя разными путями.

В первом методе применяется маятник какой-либо простой формы, для которой значение $l$ можно найти путем вычисления, пользуясь формулою (5) §55 и значениями $h$ и $k$, соответствующими данной частной форме. Так, в случае однородного шара радиуса $r$, подвешенного при помощи тонкой проволоки длины $\lambda$, мы имеем $x^{2}=\frac{2}{5} a^{2}$ („Статика“, § 72); следовательно, если пренебречь массою проволоки, тo
\[
l=\lambda+a+\frac{2}{5} \frac{a^{2}}{\lambda+a} .
\]

Если учесть массу $m$ проволоки (предполагая, что она однородна), то при обозначениях § 55 мы получим:
\[
\begin{array}{l}
(M+m) k^{2}=M(\lambda+a)^{2}+\frac{2}{5} M a^{2}+\frac{1}{3} m \lambda^{2}, \\
(M+m) h=M(\lambda+a)+\frac{1}{2} m \lambda,
\end{array}
\]

где $M$ – масса шара („Статика“, § 73); следовательно,
\[
t=\frac{k^{2}}{h}=\frac{M(\lambda+a)^{2}+\frac{2}{5} M a^{2}+\frac{1}{3} m \lambda^{2}}{M(\lambda+a)+\frac{1}{2} m \lambda}
\]

Тщательные опыты по этому методу проделали Борда́ (Borda) и Кассини (Cassini) 1). Конечно, теоретическое значение $\frac{2}{5} M a^{2}$ для момента инерции шара относительно диаметра покоится на предположении, что шар однороден. Небольшую ошибку в этом отношении можно исключить, меняя точку прикрептения проволоки к шару. Некоторые осложнения представляет также и способ подвешивания. Если проволоку на верхнем конце зажать, то сказывается ее жесткость, и нелегко указать, что является точною „точкою“ подвеса. В опытах Борда́ проволока была прикреплена к миниатюрному физическому маятнику, снабженному лезвием, покоящимся на горизонтальной плоскости.
1) Base du système métrique, 1810.
Имеется русский перевод: Классики естествознания, книга 14, Основы метрической хесятичной системы, ГИЗ, 1926. В переводе описание опытов Борда́ выпущено. Прим. ред.

Гериод этого миниатюрного маятника был подсбран так, чтобы он по возможности был равен периоду колебаний нара и проволоки. Тогда влияние жесткости проволоки на период колебаний последней системы незначительн’, и гезвие можно считать за точку подвеса.

Вгорой метод основан на принципе взаимозаменяемости (обратимости) центров подвеса и качания. Маятник, тлчное установление формы которого не имеет значения, снабжают двумя призмами, обращенными лезвиями одна к другой и расположенными по возможности в одной и той же плоскости с центром масс $G$ на существенно неравных расстояниях от этой точки. Если бы удалось добиться, чтобы период малых колебаний был совершенно одннаков при подвешивании маятника за любую призму, то призмы нчходнлись бы в центрах по ввеса и качания, и расстояние между ними дало бы значение $l$. В самом деле, если
\[
\frac{x^{2}}{h_{1}}+h_{1}=\frac{x^{2}}{h_{2}}+h_{2}=l,
\]

то мы имеем:
\[
\left(\frac{x^{2}}{h_{1} h_{2}}-1\right)\left(h_{1}-h_{2}\right)=0 .
\]

Фиг. 46.
Следовательно, за исключением случая $h_{1}=h_{2}$, который мы не рассматриваем, мы имеем ${ }^{1}$ ):
\[
\chi^{2}=h_{1} h_{2}, \quad l=h_{1}+h_{2} .
\]

Для необходимой регулировки пэложение одного из ножей делается изменяющимся, или же маятник снабжают скользящим грузом, или, наконьц, применяют оба способа (фиг. 46).

Однако регулировка никогда не может быть выполнена совершенно точно, и бывает необходима поправка. Если $T_{1}, T_{2}$ суть наблюденные периоды, которые почти, но не вполне, равны между собой, а $l_{1}$ и $l_{2}$ длины соотвесствующих математических маятников, то мы имеем:
\[
l_{1}=\frac{\chi^{2}}{h_{1}}+h_{1}, \quad l_{2}=\frac{\chi^{2}}{h_{2}}+h_{2} ;
\]

отсюда, исключая $x$, получим:
\[
h_{1} l_{1}-h_{2} l_{2}=h_{1}^{2}-h_{2}^{2} .
\]

Это равенство можно представить в виде:
\[
\frac{1}{2} \frac{l_{1}+l_{0}}{h_{1}+h_{2}}+\frac{1}{2} \frac{l_{1}-l_{2}}{h_{1}-h_{2}}=1 .
\]

Так как
\[
l_{1}=\frac{g T_{1}^{2}}{4 \pi^{2}}, \quad l_{2}=\frac{g T_{2}^{2}}{4 \pi^{4}},
\]
1) Идея этого метода повидимому была высказа’а Боненбергером (Rohnenterger), но впервые его применил капитан Кэгер (Саріtaiı Kıter, Pi.il. Trans. 1813).

ro из (11) мы находим:
\[
\frac{4 \pi^{2}}{g}=\frac{\frac{1}{2}\left(T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\right)}{h_{1}+h_{2}}+\frac{\frac{1}{2}\left(T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\right)}{h_{1}-h_{2}} .
\]

Если $h_{1}, h_{2}$ отличаются друг от друга значительно, то последний член относительно мал, и входящие в него значения $h_{1}, h_{2}$ не требуется знать с большою точностью. Знаменатель $h_{1}+h_{2}$ первого члена измеряет расстояние между лезвиями ножей (призм).
ПРимер. Положим в качестве примера

Мы найдем:
\[
\begin{array}{l}
T_{1}=1,8484 \text { сек., } \quad T_{2}=1,8478 \text { сек., } \\
h_{1}+h_{2}=84,88 c \mathcal{M}, \quad h_{1}-h_{2}=55 \text { cм. } \\
\end{array}
\]

откуда
\[
\begin{array}{c}
\frac{4 \pi^{2}}{g}=0,040239+0,000020, \\
g=980,6 \text { см }^{2} \text { ceк }^{2} .
\end{array}
\]

Ошибка на целых 5 см в определении величичы $h_{1}-h_{2}$ не отразится на вычисленном результате при той точности, котогую он имеет.