Если материальная точка притягивается к началу координат с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то уравнение движения будет:
\[
u \frac{d u}{d x}=-\frac{\mu}{x^{2}},
\]

где $\mu$ обозначает ускорение на расстоянии, равном единице.

Интегрируя по $x$, получим:
\[
\frac{1}{2} u^{2}=\frac{\mu}{x}+C .
\]

Если точка начинает двигаться без начальной скорости с расстояния $c$, то мы должны иметь $u=0$ при $x=c$, и, следовательно, $C=-\frac{\mu}{c}$. Отсюда
\[
u^{2}=2 \mu\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right) \text {. }
\]

Если $c$ очень велико, то в пределе мы получим:
\[
u^{2}=\frac{2 \mu}{x}
\]

скорость, таким образом определенная, называется \”скоростью из бесконечности“ до положения $x$.

Мы можем приложить эти результаты к точке, падающей отвесно на Землю, учитывая теперь изменение веса с высотою. Предположим на основании теории притяжения, что ускорение, производимое силой тяжести, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли, тогда величина ускорения на расстоянии $x$ будет $\frac{g a^{2}}{x^{2}}$, где $a$ представляет радиус Земли. Следовательно, полагая $\mu=g a^{2}$, мы для скорости из бесконечности имеем:
\[
u^{2}=\frac{2 g a^{2}}{x} .
\]

В частности скорость, с которой точка, начавшая двигаться без начальной скорости с большого расстояния (при отсутствии сопротивления), ударится о поверхность Земли, будет $\sqrt{2 g a}$, т. е. будет равна скорости, которую точка приобрела бы при падении без начальной скорости с высоты, равной радиусу Земли, если бы сила тяжести была постоянна и равна ее значению на поверхности Земли. Если мы положим $a=6,38 \cdot 10^{8} \mathrm{cM}, g=981 \mathrm{~cm} / \mathrm{cek}^{2}$, то мы найдем, что эта скорость будет составлять 11,2 км/сек.

Возвратимся снова к более общему случаю. Пусть требуется найти время прибытия точки в какое-либо заданное положение. На основании (3) мы имеем:
\[
\frac{d x}{d t}=u=-\sqrt{\frac{2 \mu(c-x)}{c x}} .
\]

Здесь введен знак минус, так как движение направлено к началу координат. Чтобы проинтегрировать это уравнение, мы можем псложить
\[
x=c \cos ^{2} \theta \text {, }
\]

так как $x$ изменяется от $c$ до 0 .

Отсюда имеем:
\[
2 \cos ^{2} \theta \frac{d \theta}{d t}=\sqrt{\frac{\overline{2 \mu}}{c^{3}}},
\]

или
\[
\frac{d t}{d \theta}=\sqrt{\frac{c^{3}}{2 \mu}}(1+\cos 2 \theta),
\]

откуда
\[
t=\sqrt{\frac{c^{3}}{2 \mu}}(\theta+\sin \theta \cos \theta) ;
\]

произвольного постоянного добавлять не нужно, если за начало отсчета $t$ принять начальный момент движения, так что $t=0$ при $\theta=0$. Полученная формула определяет $t$ как функцию о̀т $\theta$ и, следовательно, от $x$.

Подстановку (7) и результат (10) можно истолковать геометрически следующим образом. Обозначив через $A$ начальную точку, опишем на $O A$, как на диаметре, круг и проведем ординату $P Q$, соответствующую какому-либо положению $P$ материальной точки (фиг. 11). Если обозначить угол $A O Q$ через $\theta$, то мы в соответствии с (7) имеем:
\[
O P:=O Q \cos \theta=O A \cos ^{2} \theta .
\]

Фиг. 11.
Точно так же легко видеть, что площадь $A O Q$, заключающаяся между $O A, O Q$ и дугою $A Q$, равна выражению:
\[
\frac{1}{4} c^{2}(\theta+\sin \theta \cos \theta) .
\]

Из сравнения с (10) оказывается, что площадь $A O Q$ растет пропорционально времени, причем приращение в единицу времени составляет
\[
\sqrt{\left.\frac{1}{8} \mu c^{1}\right)} \text {. }
\]

Точно так же формуды (7) и (10) по. казывают, что кривая, выражающая зависимость пройденного пути от времени, имеет форму циклоиды, если масштабы для $x$ и $t$ выбраны надлежащим образом ${ }^{2}$ ).
1) Newton, Principia, lib. I, prop. XXXII (Ньютон, Математические начала натуральной философии, кн. I, предложение XXXII. Имеется русский перевод акад, А. И. Крылова).
2) При надлежащем выборе осей, координаты точек циклоиды выражаются формулами:
\[
x=a(2 \psi+\sin \psi), \quad y=a(1+\cos 2 \psi) .
\]

Если в формуле (10) мы положим $\theta=\frac{1}{2} \pi$, то мы получим время прибытия точки в начало координат, а именно:
\[
t_{0}=\pi \sqrt{\frac{c^{3}}{8 \mu}} .
\]

Это время можно сравнить с временем обращения точки по круговой орбите радиуса $c$ с тем же центром сил, а именно (см. главу X):
\[
t_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{c^{3}}{\mu}}
\]

Мы имеем:
\[
\frac{t_{0}}{t_{1}}=\frac{1}{8} \sqrt{2}=0,177 .
\]

Например, если бы движение Земли по ее орбите было остановлено, то Земля упала бы на Солнце по истечении 0,177 года, или приблизительно по истечении 65 дней.