1. Масса $m$ лежит на гладком столе и прикреплена к концу нити, проходяшей через небольшое отверстие в столе и поддерживяюшей массу $M$ на своем другом конце, висящем вертикально. Доказать, что если массу $m$ привести в движение под прямым углом к нити со скоростью $v$ с расстояния $a$ от отверстия, то, когда точка $m$ будет снова двигаться пол прямым углом к нити, ее расстояние от отверстия будет равно положительному корню уравнения:
\[
x^{2}-\frac{m v^{2}}{2 M g} x-\frac{m v^{2}}{2 M g} a=0 .
\]
2. Показать, что если в предыдущей задаче расстояние $m$ от отверстия колеблется между $a$ и $b$, то кинетическая энергия в крайних положениях соответственно будет:
\[
\frac{M g b^{2}}{a+b}, \frac{M g a^{2}}{a+b} .
\]
3. Точки $P, Q$ имеют соответственно массы $M, m$. Первая описывает круг радиуса $a$ около неподвижной точки $O$, а вторая описнвает относительно $P$ круг радиуса $b$. Доказать, что если $\theta$ есть угол, составляемый линиею $O P$ с неподвижным направлением, а $\chi$ – угол, составляемый линиею $P Q$ с $O P$, то кинетическая энергия системы будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2}\left(\dot{A}^{2}+2 H \dot{\theta} \dot{\chi}+B \dot{\chi^{2}}\right)
\]
где
\[
A=M a^{2}+m\left(a^{2}+2 a b \cos \chi+b^{2}\right), \quad H=m b(a \cos \chi+b), \quad B=m b^{2} .
\]
Доказать также, что момент количеств движения системы относительно $O$ будет:
\[
A \dot{\theta}+H \dot{\chi} \text {. }
\]
4. Однородная нить длины $2 a$ висит на гладком штифте и находится в равновесии. Доказать, что если она начнет двигаться без начальной скорости, то ее скорость в тот момент, кӧгда она сойдет со штифта, будет $\sqrt{g a}$.
5. Однородная нить висит вертикально, будучн подвешена за оба конца, сложенные вместе. Доказать, что если один конец освободить, то натяжение в месте сгиба на неподвижной стороне по истечении, времени $t$ будет $\frac{1}{2} \mu g^{2} t^{2}$, где $\mu$-масса, приходящаяся на единицу длины.
Определить потерю механической энергии.
6. Кусок однородной нити висит вертикально, будучи подвешен за верхний конеч, причем нижний конец как раз доходит до горизонтального стола. Доказать, что если верхний конец освободить, то в любой момент падения нити давление на стол будет в три раза больше веса части, лежащей на столе.
7. Нить перекинута через гладкий круглый цилиндр с горичэнтальною осью и находится в равновесии, причем ее длина равна половине длины окружности. Доказать, что если нить несколько вывести из положения равновесия, то скорость, после того как нить переместится по цилиндру на длину $a 6$, будет выражаться формулою:
\[
\sqrt{\frac{g a}{\pi}\left[\theta^{2}+2(1-\cos \theta)\right]}
\]
пде $a$ – радиус цилиндра.
8. Однородная нить, концы которой свободны, скользит по гладкой циклоиде с вертикальною осью; доказать, что середина нити движется так, как будто в ней сосредоточена вся масса нити.
9. В вершинах правильного многоугольника находятся одинаковые массы, сфединенные последовательно нерастяжимыми нитями. Доказать, что если одну нить внезапно дернуть, то натяжения в любых трех последовательных нитях будут связаны соотношением:
\[
T_{n+1}-2 T_{n}+T_{n-1}=\left(T_{n+1}+2 T_{n}+T_{n-1}\right) \operatorname{tg}^{2} \alpha,
\]
где $\alpha$-половина центрального угла, опираюшегося на сторону многоугольника.
10. Доказать, что если нить привести в движение мгновенными касательными импильсами $T_{4}, T_{2}$, приложенными к обоим концам, то полученная таким образом кинетическая энергия будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2}\left(T_{1} v_{1}+T_{2} v_{2}\right)
\]
где $v_{1}, v_{2}$ – начальные касательные скорости на обоих концат.
11. Однородная нить, имеющая форму дуги логапифмической спирали, образующей во ьсех точках один и тот же угол а с радиусом-вектором, приведена в движение касательным импульсом, приложенным к одному из концов ее. Доказать, что натяжение, создаваемое импульсом, определяется по формуле:
\[
T=A s^{n_{1}}+B s^{n_{2}},
\]
где $n_{1}$ и $n_{2}$ – корни квадратного уравнения
\[
n(n-1)=\operatorname{tg}^{2} \alpha .
\]
Доказать, что если в одном направлении нить бесконечна, то направление начального движения каждой точки образует с кривой один и тот же угол.
