Мы получим другой очень важный случай, когда заданная возмущающая сила представляет простую периодическую функцию времени, например,
\[
X=f \cos p t,
\]

где значение $p$ дано. Чтобы решить диференциальное уравнение, мы можем попробовать, не будет ли внешняя сила поддерживать простое периодическое движение с заданным периодом $\frac{2 \pi}{p}$, т. е.
\[
x=C \cos p t \text {. }
\]

Подставив значение (2) в уравнение (1) § 12 , мы найдем:
\[
X=\left(n^{2}-p^{2}\right) C \cos p t
\]
1) Дальнейшие выводы опираются на формулу (4) с соответствующим выбором произвольных постоянных $A$ и $B$ и на геометрическую интерпретацию гармонического движения, данную в § 10. Прим. ред.

что совпадает с заданной формулой (1), если только
\[
\left(n^{2}-p^{2}\right) C=f .
\]

Следовательно, данная сила будет поддерживать ${ }_{n}$ вынужденное“ колебание
\[
x=\frac{f}{n^{2}-p^{2}} \cos p t \text {. }
\]

К этому значению $x$ мы можем, очевидно, добавить выражение:
\[
A \cos n t+B \sin n t \text {, }
\]

так как его добавление не отзывается на требуемом значении для $X$; это выражение представляет „свободные\» колебания, которые могут существовать независимо от $X$. Таким образом мы получаем полное решение:
\[
x=\frac{f}{n^{2}-p^{2}} \cos p t+A \cos n t+B \sin n t,
\]

содержащее два произвольных постоянных.
Вынужденные колебания (5) имеют такой же период $\frac{2 \pi}{p}$, как и возмущающая сила. Их фаза совпадает с фазою силы или имеет противоположный знак, в зависимости от знака неравенства в $p \lessgtr n$, т. е. в зависимости от того, будет ли период вынужденных колебаний больше или меньше периода свободных (собственных) колебаний. Если период вынужденных колебаний бесконечно велик, то мы имеем $p=0$, и перемещение в каждый момент времени будет таким, какое поддерживалось бы постоянной силой, равной по величине мгновенному значению действительной силы. Заимствуя терминологию из теории приливов и отливов, мы можем назвать такое перемещение статическим или \»равновесным “ значением перемещения. Обозначая его через $\bar{x}$, мы имеем:
\[
\bar{x}=\frac{f}{n^{2}} \cos p t .
\]

Следовательно, для какого-либо другого периода мы при вынужденном колебании имеем:
\[
x=\frac{\bar{x}}{1-\frac{p^{2}}{n^{2}}} .
\]

Если $p$ увеличивается, начиная с нулевого значения, то амплитуда вынужденных колебаний будет увеличиваться до тех пор, пока $p$ не будет почти равно $n$, т. е. когда период вынужденных колебаний почти будет равен периоду свободных (собственных) колебаний, то $x$ получается очень большим. Если диференциальное уравнение представляет только приближение к действительным условиям, как в случае маятника, решение (6) перестанет быть применимым еще до наступления этого момента как несовместимое с основным предположением относительно малости $x$, на котором был основан вывод приближенного решения. Можно добавить, что силы трения, которые в большей или меньшей степени всегда действуют, могут также иметь важное значение. Этот вопрос будет рассмотрен позднее (глава XII), пока же ограничимся выводом, что колебания с чрезмерно большой амплитудой могут встретиться каждый раз, когда получается совпаление между периодами свободных (собственных) и вынужденных колебаний. Это явление, свойственное всем колебательным системам, известно под ндзванием „резонанс“, заимствованным из акустики, где примеры этого явления встречаются часто и притом в реєззко выраженной форме.

В случае точного совпадения обоих периодов предыдущий метод неприменим, но получающееся затруднение разренается, если мы исследуем при $p \rightarrow n$ предельную форму решения (6) с постоянными $A, B$, подобранными применительно к заданным начальным условиям. Если при $t=0$ мы имеем $x=x_{0}, \dot{x}=u_{0}$, то мы найдем:
\[
A+\frac{f}{n^{2}-p^{2}}=x_{0}, \quad n B=u_{0},
\]

откуда
\[
x=x_{0} \cos n t+\frac{u_{0}}{n} \sin n t+\frac{f}{n^{2}-p^{2}}(\cos p t-\cos n t) .
\]

Последний член может быть представлен в виде:
\[
\frac{f t}{n+p} \cdot \frac{\sin \frac{1}{2}(n-p) t}{\frac{1}{2}(n-p) t} \cdot \sin \frac{1}{2}(n+p) t
\]

где второй множитель имеет в пределе значение 1. Следовательно, при $p \rightarrow n$ мы имеем:
\[
x=x_{0} \cos n t+\frac{u_{n}}{n} \sin n t+\frac{f t}{2 n} \sin n t .
\]

Можно сказать, что последний член представляет простое гармоническое колебание, амплитуда которого растет пропирционально $t$. По причине, указанной выше, этот результат обычно действителен лишь в начальной сгадии движения.

Если $p$ будет увеличиваться дальше и перейдет за критическое значение, то фаза вынужденного колебания будет сохраняться, а его амплитуда будет непрерывно уменьшаться.

Предыдушую теорию можно иллюстрировать примером маятника, точка подвеса которого движется горизонтально взад и вперед по заданному закону; при этом предполагается, что наклон нити к вертикали осгается всегда малым.
Если \& обозначает перемешение точки подвеса, а $x$ Фиг. 9. груза, причем обз расстояния отсчитываюлся от неподвижной вертикальной линии (фиг. 9), то мы имеем:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-m g \cdot \frac{x-\xi}{l},
\]

или, если $n^{2}=\frac{g}{l}$, как в § 11 :
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+n^{2} x=n^{2} \xi .
\]

Это уравнение получается таким же, как если бы верхний конец стержня был неподвижен, а на груз действовала горизонтальная сила, сообщающая ему ускорение $n^{2} \xi$.

Если накладываемое движение является простым гармоническим например
\[
\xi=a \ddot{\cos } p t,
\]

то решение будет, как (5), причем $f=n^{2} a$. Если мы положим $p^{2}=\frac{g}{l^{\prime}}$,
т. е. примем, что период вынужденных колебаний совпадает с периодом колебаний маятника длины $l^{\prime}$, то вынужденные колебания будут происходить по закону, выражаемому формулой:
\[
x=\frac{n^{2} a}{n^{2}-p^{2}} \cos p t=\frac{l^{\prime}}{l^{\prime}-l} \xi .
\]

Этот результат иллюстрирован на фиг. 10 для двух случаев $l^{\prime}>l$ и $l^{\prime}<l$. Маятник движется так, как будто он подвешен в неподвижной точке $C$, причем расстояние $C P$ равно $l$. Решение (15), очевидно, получается и из чертежа ${ }^{1}$ ).

Перемещение шарика (груза) маятника относительно точки подвеса определяется по формуле:
\[
x-\xi=\frac{p^{2} a}{n^{2}-p^{2}} \cos p t=\frac{l}{l^{\prime}-l} \xi .
\]

Фиг. 10.
Эта формула применяется в теории сейсмографа, т. е. инструмента, предназначенного для регистрации на большом расстоянии движения земной поверхности во время землетрясения. Каждый сейсмограф фактически представляет маятник; его показания основаны на относительном движении, так как регистрирующий аппарат неизбежно движется вместе с основанием. Если $p$ велико в сравнении с $n$, т. е. $l^{\prime}$ мало в сравнении с $l$, то относительное перемещение будет приближенно равно — , так как груз будет почти в пюкое. Следовательно, все колебания, совершающиеся сравнительно быстро, будут регистрироваться в одном и том же масштабе. По этой причине период свободных колебаний сейсмографа делается длинным; обычно его делают равным 15 или 20 сек. Так как показания сейсмографа подвержены искажению вследствие наложения свободных колебаний, то для избежания этого вводится специальное успокоительное (демпфирующее) приспособление (см. главу XII).
1) Эта иллюстрация принадлежит Томасу Юнгу (Thomas Joung)(„Статика“, §137), который исследовалі элементарным способом теорию свободных (собственных) и вынужденных колебаний и применил ее к теории приливов и отливов; в последней вопрос об обращении фазы в случае, если период длиннее периода возмущающей силы луны, имеет большую важность.