После длительных наблюдений было найдено, что законы Кеплера не дают точного описания движения планет, и теория всемирного тяготения указывает причину, почему должны получаться откдонения от этих законов. Рассматриваемые законы по этой теории выполнялись бы точно для системы планет, не обладающих взаимным притяжением; в действительности же ускорения, сообщаемые планетами одна другой и Солнцу, хотя сравнительно и незначительны, все же достаточны, чтобы произвести изменения орбит. Если отдельные факторы дают эффект одного знака, то изменения с течением времени могут сделаться значительными.

В задаче о двух телах легко учитывается влияние притяжения планетою Солнца. Если $m_{1}, m_{2}$ суть массы двух тел, обладающих взаимным притяжением и расположенннх на расстоянии $r$ одна от другой, то материальная точка $m_{1}$ имеет ускорение, направленное к $m_{2}$ и пропорциональное количеству $\frac{m_{2}}{r}$, а точка $m_{2}$ имеет ускорение, направленное к $m_{1}$ и пропорциональное количеству $\frac{m_{1}}{r^{2}}$. Следовательно, ускорение точки $m_{1}$ относительно $m_{2}$ пропорционально величине $\frac{m_{1}+m_{2}}{r^{2}}$. Таким образом кажущсеся ускорение $\mu$ на расстоянии, равном единице, будет больше, чем если бы точка $m_{2}$ была неподвижной, в отношении $\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}}$. Следовательно, сравнивая случаи двух планет $m, m^{\prime}$, вращающихся около Солнца, масса которого равна $S$, мы на оснивании $\S 76$, (13) имеем:
\[
T^{2}: T^{\prime 2}=\frac{a^{3}}{\mu}: \frac{a^{\prime 3}}{\mu^{\prime}},
\]

или
\[
\left(\frac{a}{u^{\prime}}\right)^{3}=\frac{\mu}{\mu^{\prime}}\left(\frac{T}{T^{\prime}}\right)^{2}=\frac{S+m}{S+m^{\prime}} \cdot\left(\frac{T}{T^{\prime}}\right)^{2} .
\]

Это и будет исправленная формулировка третьего закона Кеплера. у четырех внутренних планет отношение $\frac{m}{S}$ очень незначительно; именно, у Земли оно составляет $\frac{1}{300000}$. Следовательно, поправка для относительных расстояний на основании этого закона почти незаметна. Наибольшее значение $\frac{m}{S}$ для внешних планет составляет около $\frac{1}{1000}$, как ято мы имеем в случае Юпитера.

Хотя рассмотрение относительного ускорения приводит нас к пре- дыдущему результату непосредственно, все же поучительно рассмотреть вопрос и с другой точки зрения. Если $r_{1}, r_{2}$ суть расстояния двух материальных точек $m, m_{2}$ от их центра масс $G$, а $r$-их взаимноө расстояние, то мы имесм:
\[
r_{1}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} r_{1} \quad r_{2}=\frac{m_{1}}{m_{2}+m_{2}} r .
\]

Так как расстояния обеих точек от $G$ и одна от другой находятся в постоянном отношенин, то орбиты, описываемые ими отно ительно $G$ и относитепьно друг друга, будит геометрич ски подобны. Кроме 1ого, по теореме § 48 мы при рассмотрении движения относительно $G$ можем не обращать внимания на движение самой точки $G$. Если рассматривать $O$ как неподвижную точку, то ускорение точки $m_{2}$, направленное к $G$, будет $\frac{\gamma m_{1}}{r^{2}}$, или
\[
\frac{\mu_{2}}{r_{2}^{2}}
\]
rде
\[
\mu_{2}=\frac{\gamma m_{1}^{3}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} .
\]

Если $a_{2}$ есть среднее расстояние точки $m_{2}$ на ее орбите относительно $G$, то мы имеем:
\[
a_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} a,
\]

где $\boldsymbol{a}$ относится к орбите стносительно $m_{1}$. Следовательно, если псриод обращения будет $T$, то мы имезм:
\[
T^{2}=\frac{4 \pi^{2} a_{3}^{3}}{\mu_{2}}=\frac{4 \pi^{2} a^{3}}{\mu} .
\]
rae
\[
\mu=\gamma\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

Отсюда мы можем притти к формуле (2).
То же заключение вытекаєт и из рассмотрения энергии системы. В § 42 мы видели, что кинетическая энергия движения относительно центра масс, которая в рассмарриваемом случае и является лишь переменною частью кинетической энергии, выражается формулою:
\[
\frac{1}{2} \frac{m, m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v^{2}
\]

где $\theta$ есть относительная скорость обеих мат-риальных точек. Потенциальная же өнергия будет выражаться фирмулою:
\[
-\frac{\gamma m_{1} m_{2}}{r} \text {. }
\]
Следовательно, уравнение энергии можно представить в виде:
\[
\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v^{2}=\frac{\gamma m m_{2}}{r}+\text { const. }
\]

Оно тождественно с (2) из § 76 , если считать, что $\mu$ имсет в этом уравнении значение (8).

Пример. Чтобы определить при помощи формулы (2) среднее расстояние Юпитера, положим
\[
\frac{T}{T^{\prime}}=11,8618, \quad \frac{m}{S}=\frac{1}{1047}, \quad \frac{m^{\prime}}{S}=0,
\]

где буквы сп штрихами относятся к Земле, причем массою Земли при принятой степени точности можно пренебречь. Мы получаем:
\[
\left(\frac{a}{a^{\prime}}\right)^{3}=1,00096 \cdot(11,8618)^{2},
\]

откуда
\[
\frac{a}{a^{\prime}}=5,2028 .
\]