Если мы имеем дело с системой изолированных материальных точек, то мы можем, как в § 40 , начать с составления уравнений движения каждой точки отдельно, учитывая, конечно, силы взаимодействия между точками, а также внешние силы. В этих уравнениях каждая составляющая внутренней силы будет входить дважды с противоположными знаками, а именно будет входить в уравнения движения двух точек, между которыми действует рассматриваемая сила.

Если система подчинена связям без трения, то в каждом отдельном случае должны выполняться определенные геометрические соотношения, требующие отыскания неизвестных реакций, обусловленных связями. Так, если одна из точек вынуждена двигаться по гладкой поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнению поверхности.

Как и можно ожидать, полное решение такой задачи обычно представляет большие трудности. Например, основная задача астрономии, а именно „задача о трех телах“, которая заключается в определении движения трех взаимно притягивающихся одна к другой материальных точек (например Солнце, Земля и Луна), может быть решена только при помощи сложных приближенных методов.

Однако имеются два общих результата, не зависящих от природы взаимодействия точек системы. Прежде чем перейти к ним, удобнее предпослать одну или две теоремы из кинематики, которые упростят формулировки.

Количества движения отдельных точек системы, очевидно, представляют ряд скользящих векторов („Статика“, § 18), с которыми при разложении и при образовании моментов можно поступать по тем же правилам, какие мы имеем для сил в статике. Например, в случае двух измерений они могут быть заменены результирующим „количеством движения системы “, направленным вдоль линии, проходящей через любую выбранную точку $O$, и „главным моментом количеств движения “, представляющими сумму моментов количеств движения всех точек относительно точки $O$. Эти термины соответствуют ,главному вектору“ и \”главному моменту\” в статике (\”Статика“, § 21).:

Количеством движения системы называется геометрическая сумма количеств движения отдельных точек; следовательно, оно не зависит от положения точек. Если координаты точки $m$ будут $(x, y, z)$, то составляющие количества движения системы будут:
\[
\Sigma(m \dot{x}), \Sigma(m \dot{y}), \Sigma(m \dot{z}),
\]

где суммирование распространяется на все точки системы.

Количество движения системы (как и в* частном случае, разобранном в § 40) не изменится, если все массы сосредоточить в их пентре и сообщить им скорость этой точки. Действительно, если за время $\delta t$ точка $m_{1}$ переместилась из $P_{1}$ в $P_{1}^{\prime}$, точка $m_{2}$ из $P_{2}$ в $P_{2}^{\prime}$ и т. д., то мы имеем (\”Статика\”, § 64):
\[
\Sigma\left(m \cdot P P^{\prime}\right)=\Sigma(m) \cdot G G^{\prime},
\]

где $G G^{\prime}$ представляет перемещение центра масс. Следовательно, разделив на скалярную величину $\delta t$, мы получим:
\[
\sum\left(m \cdot \frac{P P^{t}}{\delta t}\right)=\sum(m) \cdot \frac{G G^{\prime}}{\partial t} .
\]

В пределе вектор $m \cdot \frac{P P^{\prime}}{\partial t}$ будет количеством движения точки $m_{1}$, а вектор $\boldsymbol{\Sigma}(m) \cdot \frac{G G^{\prime}}{\partial t}$ будет количеством движения массы $\boldsymbol{\Sigma}(\dot{m})$, движущейся по нашему предположению вместе с центром масс $G$. Это и доказывает теорему.
Аналитически она выражается формулою:
\[
\sum\left(m \frac{d x}{d}\right)=\frac{d}{d t} \sum(m x)=\frac{d}{d t}\left[\sum(m) \bar{x}\right]=\sum(m) \frac{d \bar{x}}{d t},
\]

и аналогичные формулы мы имеем для других проекций.
Еєли мы обозначим через $\boldsymbol{r}$ радиус-вектор точки $m$ относительно начала координат, а через $\rho$ – радиус-вектор относительно центра масс, так что
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{0}+\rho,
\]

где $\boldsymbol{r}_{0}$ относится к центру масс, то мы получим в векторной форме равенство (\”Статика“, § 64):
\[
\Sigma(m p)=0,
\]

и
\[
\Sigma(m \boldsymbol{r})=\Sigma(m) \cdot \boldsymbol{r}_{0} .
\]

Следовательно, диференцируя по $t$, будем иметь:
\[
\Sigma(m v)=\Sigma(m) \cdot v_{0},
\]

где $\boldsymbol{v}(=\dot{\boldsymbol{r}})$ есть скорость точки $m$, а $\boldsymbol{v}_{0}\left(=\frac{d \boldsymbol{r}_{0}}{d t}\right)$ – скорость центра масс.
Изложение некоторых теорем кинематики, относящихся к главному моменту количеств движения, мы пока отложим (см. § 61,62).