Предположим, что нить первоначально находится в покое, имея форму плоской кривой, и что она внезапно приведена в движение импульсами, касательными к ее концам.

Обозначим теперь через $T$ импульсивное натяжение в любой точке $P$, т. е. интеграл по времени от действительного натяжения, взятый в пределах бесконечно малой продолжительности действия силы.

Пусть будут $u, v$ скорости непосредственно после прекращения действия импульса соответственно в направления касательной и нормали. Так как касательная и нормальная составляющие импульса, приложенного к элементу $\delta s$, будут $\delta T$ и $T \delta \phi$, то мы имеем:
\[
\mu \delta s \cdot u=\delta T, \quad \mu \delta s \cdot v=T \partial \Phi,
\]

или
\[
\mu u=\frac{d T}{d s}, \quad \mu v=T \frac{d \phi}{d s} .
\]

Если $P, Q$ будут две близких между собой точки нити, то скорость точки $Q$ относительно $P$ будет иметь, с точностью до бесконечно малых второго порядка, составляющую
\[
(u+\delta u) \cos \delta \phi-(v+\delta v) \sin \delta \varphi-u=\delta u-v \hat{\varphi} \phi,
\]

параллельную касательной в $P$, и составляющую
\[
(u+\delta u) \sin \delta \psi+(v+\delta v) \cos \delta \phi-v=u \hat{\phi} \psi+\delta v,
\]

параллельную нормали, проведенной через $P$. Так как длина $\delta s$ элемента $P Q$ постоянна, то первая составляющая относительной скорости должна обращаться в нуль, откуда
\[
\frac{d u}{d s}-v \frac{d \Phi}{d s}=0 .
\]

Выражение, найденное нами для относительной нормальной скорости, показывает, что непосредственно после окончания действия импульса элемент $P Q$, кроме переносной скорости, будет иметь дополнительную угловую скоросъть:
\[
u \frac{d \Phi}{d s}+\frac{d v}{d s} \text {. }
\]

Исключив из (1) и (2) количества $u$, $v$, получим:
\[
\frac{d}{d s}\left(\frac{1}{\mu} \frac{d T}{d s}\right)=\frac{T}{\mu}\left(\frac{d \Psi}{d s}\right)^{2}=\frac{T}{\mu \rho^{2}},
\]

где $\rho$ — радиус кривизны.
Если нить имеет по всей длине постоянную линейную плотность, то это уравнение приводится к следующему:
\[
\frac{d^{2} T}{d s^{2}}=\frac{T}{\rho^{2}} .
\]

Решения уравнений (4) и (5) будут содержать две произвольных постоянных, которые должны определяться по данным, относящимся к обоим концам. После определения постоянных значения $u, v$ найдутся по формулам (1).

ПРимер. Если нить образует дугу круга, то мы имеем $\rho=a$, т. е. радиус крйизны равен радиусу круга. Следовательно, положив $s=a \theta$, получим уравнение:
\[
\frac{d^{2} T}{d^{0 z}}=T
\]

решение которого будет:
\[
T=A \operatorname{ch} \theta+B \operatorname{sh} \theta .
\]

Если $T_{0}$ будет импульсивное натяжение, приложенное к одному из концов $(\theta=0)$, и если другой конец $(\theta=\alpha)$ будет свободен, то мы имеем:

откуда
\[
A=T_{0}, \quad A \operatorname{ch} \alpha+B \operatorname{sh} \alpha=0,
\]
\[
T=T_{0} \frac{\operatorname{sh}(\alpha-\theta)}{\operatorname{sh} \alpha} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
u=-\frac{T_{0}}{\mu a} \cdot \frac{\operatorname{ch}(\alpha-\theta)}{\operatorname{sh} \alpha}, \quad v=\frac{T_{0}}{\mu a} \cdot \frac{\operatorname{sh}(\alpha-\theta)}{\operatorname{sh} \alpha} .
\]