В предыдущих примерах исключение неизвестных реакций производилось легко благодаря тому, что рассмотренные задачи обладали некоторыми особенностями. В других случаях, и особенно, когда число степеней свободы значительно, непосредственное пользование основными теоремами может привести к сложным уравнениям ${ }^{1}$ ), и исключение может представить большие затруднения.
Задача о выполнении этого исключения раз навсегда для любой консервативной системы была рассмотрена и решена Лагранжем ${ }^{2}$ ). Он показал, что динамические свойства системы полностью определяются выражениями кинетнческой и потенциальной энергии через $n$ обобщенных координат системы и их производные по времени, и что если эти выражения известны, то $n$ уравнений движения, не содержащих реакций, можно получить непосредственно без дальнейшего рассмотрения особенностей данной системы.
При выводе уравнений Лагранжа мы ограничимся случаем двух степеней свободы. Этого будет достаточно для рассмотрения ряда интересных задач, и это даст нам возможность избежать введения сложной системы обозначении. В то же время прием, при помощи которого результат можно распространить на общий случай, будет ясен.
Рассмотрим сначала случаћ одной материальной точки. Обозначим через $\theta, \varphi$ независимые переменные или координаты, характеризующие положение точки. Это могут быть декартовы координаты (прямоугольные или косоугольные) на плоскости, или сферические координаты; рассмотренные в § 103, или два любых количества, которыми удобно характеризовать положение точки. Производные $\dot{\theta}, \dot{\varphi}$ этих координат по времени мы можем назвать „обобщенными скоростями “ материальной точки.
Если координата $\theta$ несколько изменится, а координата $\varphi$ будет оставаться постоянною, то матернальная точка получит перемещение в некотором определенном направлении
\[
\delta s_{1}=\alpha \dot{\delta} \theta,
\]
где коэфициент $\alpha$ будет вообще зависеть от начального положения и, следовательно, от значений $\theta, \varphi$. Аналогично, если изменится только $\varphi$, то перемещение будет
\[
\delta s_{2}=\beta \delta \varphi
\]
в другом определенном направлении. Если одновременно изменяются обе координаты, то результирующее перемещение определится по формуле:
\[
\begin{aligned}
\delta s^{2} & =\delta s_{1}^{2}+2 \delta s_{1} \delta s_{2} \cos \varepsilon+\delta s_{2}^{2}= \\
& =a^{2} \delta \theta^{2}+2 \alpha \beta \cos \varepsilon \delta \theta \delta \varphi+\beta^{2} \delta \varphi^{2},
\end{aligned}
\]
где $\varepsilon$ обозначает угол между направлениями $\delta s_{1}$ и $\delta s_{2}$. Следовательно, квадрат скорости будет выражаться формулою:
\[
v^{2}=\alpha^{2} \dot{\theta}^{2}+2 \alpha \beta \cos \varepsilon \dot{\theta} \dot{\varphi}+\beta^{2} \dot{\varphi}^{2} .
\]
1) Это иллюстрируется в известной степени изложенным в § 68.
9). Méchanique analitique\”, Paris 1788 .
Таким образом, если, как обычно, мы обозначим кинетическую энергию через $T$, то при обозначении массы через $m$ получим:
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2}\left(A \dot{\theta}^{2}+2 H \dot{\theta} \dot{\varphi}+B \dot{\varphi}^{2}\right),
\]
где
\[
A=m \alpha^{2}, \quad H=m \alpha^{\beta} \cos \varepsilon, \quad B=m \beta^{2} .
\]
Коэфициенти $A, H, B$ суть вообще функции от $\theta, \varphi$. Их можно назвать \”коэфициентами инерции \” материальной точки.
Так как декартовы координаты $x, y, z$ точки $m$, отнесенной к какой-либо системе неподвижных прямоугольных координат, по предположению суть некоторые функции от $\theta$ и $\varphi$, то
\[
\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial x}{\partial \varphi} \dot{\varphi}, \quad \dot{y}=\frac{\partial v}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial y}{\partial \varphi} \dot{\varphi}, \quad z=\frac{\partial z}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial z}{\partial \varphi} \dot{\varphi} .
\]
Следовательно,
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(A \dot{\theta}^{2}+2 H \dot{\varphi} \dot{\varphi}+B \dot{\varphi}^{2}\right),
\]
где
\[
\left.\begin{array}{l}
A=m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^{2}\right\}, \\
H=m\left\{\frac{\partial x}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial x}{\partial \varphi}+\frac{\partial y}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial y}{\partial \varphi}+\frac{\partial z}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial z}{\partial \varphi}\right\}, \\
B=m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \varphi}\right)^{2}\right\} .
\end{array}\right\}
\]
Легко видеть что эти выражения коэфициентов эквиваленты выражениям (6).
Если сила, действующая ‘на материальную точку, есть ( $X, Y, Z$ ), то уравнения движения в декартовых координатах будут иметь вид:
\[
m \ddot{x}=X, \quad m \ddot{y}=Y, \quad m \ddot{z}=Z .
\]
Умножив эти уравнения соответственно на частные производные
\[
\frac{\partial x}{\partial \theta}, \frac{\partial y}{\partial \theta}, \frac{\partial z}{\partial \theta}
\]
и сяожив, мы получим:
\[
m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial \theta}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial \theta}\right)=X \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta} .
\]
Обратим внимание, что это преобразование эквивалентно проектированию на направление перемещения $\delta s_{1}$.
Чгобы преобразовать уравнения (11), заметим, что
\[
\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}\right)-\dot{x} \frac{d}{d t} \frac{\partial x}{\partial \theta},
\]
где производные по $t$ представляют полные производные. Далее, на основании (7) имеем:
\[
\frac{\partial x}{\partial \dot{\theta}}=\frac{\partial x}{\partial \theta},
\]
и
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial x}{\partial y}=\frac{\partial^{2} x}{\partial \theta^{2}} \dot{\theta}+\frac{\partial^{2} x}{\partial \theta \partial \varphi} \dot{\varphi}=\frac{\partial \dot{x}}{\partial \theta} .
\]
Следовательно, равенство (12) можно представить в виде:
\[
\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{\theta}}\right)-\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \theta} .
\]
Таким образом на основании аналогичных формул и формулы (8) мы получим:
\[
\begin{array}{l}
m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial \theta}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial \theta}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial \theta}\right)= \\
\quad=\frac{d}{d t} m\left(\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{\theta}}+\dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial \dot{\theta}}+\dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial \dot{\theta}}\right)-m\left(\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \theta}+\dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial \theta}+\dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial \theta}\right)= \\
\quad=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta} .
\end{array}
\]
Если работа сил на малом перемещении выражается формулою
\[
\theta \delta \theta+\Phi \delta \varphi
\]
то количества $\theta, \Phi$ называются „обобщенными силами“. Очевидно, что при вычислении их мы можем не принимать во внимание все силы (такие, как реакции гладких неподвижных поверхностей и т. д.), работа которых равна нулю. При наших прежних обозначениях мы имеем:
$X \delta x+Y \hat{y} y+Z \delta z=$
\[
=\left(X_{\frac{\partial}{\partial \theta}}^{\partial \theta}+Y \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta}\right) \delta \theta+\left(X \frac{\partial x}{\partial \varphi}+Y \frac{\partial y}{\partial \varphi}+Z \frac{\partial z}{\partial \varphi}\right) \delta \varphi,
\]
так что
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta=X \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z \frac{\partial z}{\partial \theta}, \\
\boldsymbol{\Phi}=X \frac{\partial x}{\partial \varphi}+Y \frac{\partial y}{\partial \varphi}+Z \frac{\partial z}{\partial \varphi} .
\end{array}\right\}
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=\theta, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \rho}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=\Phi .
\end{array}\right\}
\]
До сих пор силы $X, Y, Z$; а следовательно $\theta, \Phi$, не были подчинены никаким ограничениям. Они могли быть как функциями положения, скорости, так и явно зависеть от времени. В случае материальной точки, движущейся в консервативном поле и неподверженной действию других внешних сил, работа силы поля на малом перемещении равна уменьшению потенциальной энергии; поэтому мы имеем:
\[
\theta \delta \theta+\Phi \dot{\partial}=-\delta U=-\frac{\partial U}{\partial \theta} \delta \theta-\frac{\partial U}{\partial \varphi} \delta \varphi .
\]
Так как вариации $\partial \theta$, $ф$ независимы, то должно быть
\[
\theta=-\frac{\partial U}{\partial \theta}, \quad \Phi=-\frac{\partial U}{\partial \varphi} .
\]
Таким образом уравнения (20) принимают классическую форму:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \theta}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \varphi}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi} .
\end{array}\right\}
\]
Смысл выражений
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}},
\]
входящих в уравнения Лагранжа, можно выяснить следующим образом. Импульс $\left(X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\right)$, который необходимо сообщить точке, находящейся в покое, чтобы мгновенно получить действительное движение. определяется формулами:
\[
m \dot{x}=X^{\prime}, \quad m \dot{y}=Y^{\prime}, \quad m \dot{z}=Z^{\prime} .
\]
Если мы умножим эти равенства соответственно на $\frac{\partial x}{\partial \theta}, \frac{\partial y}{\partial \theta}, \frac{\partial z}{\partial \theta}$ и сложим, то в силу (13) получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \theta}=X^{\prime} \frac{\partial x}{\partial \theta}+Y^{\prime} \frac{\partial y}{\partial \theta}+Z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial \theta}, \\
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=X^{\prime} \frac{\partial x}{\partial \varphi}+Y^{\prime} \frac{\partial y}{\partial \varphi}+Z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial \varphi} .
\end{array}\right\}
\]
1) Предыдущий метод доказательства путем непосредственного преобразонания принадлежит B. P. Гамильтону (W. R. Hamilton, 1835). Термины , обобщенвые координаты “, \”скорости \”, \”силы\”, ,моменты “, были введены Томсоном (Thomson) и Тэтом (Tait) \”Natural Philosophy“, 1-е издание, Oxford 1867.
Выражения, стоящие в правых частях, можно назвать ,обобщенными импульсами\”; соответствующие выражения, стоящие в левых частях, можно по очевидной динамической аналогии назвать „количествами движения\”. Если мы обозначим их через $\lambda$, $\mu$, так что
\[
\lambda=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}, \quad \mu=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}},
\]
то уравнения движения можно представить в виде:
\[
\frac{d \lambda}{d t}=\theta+\frac{\partial T}{\partial \theta}, \quad \frac{d \mu}{d t}=\Phi+\frac{\partial T}{\partial \varphi},
\]
или, в случае консервативного поля:
\[
\frac{d \lambda}{d t}=-\frac{\partial}{\partial \theta}(U-T), \quad \frac{d \mu}{d t}=-\frac{\partial}{\partial \varphi}(U-T) .
\]
