В курсах динамики обычно помещают ряд задач, относящихся к движению нитей. Хотя этот случай вряд ли имеет важное значение сам по себе, все же такие задачи дают прекрасную иллюстрацию теорем динамики.

Рассмотрим сперва случай однородной нити, скользящей через край стола, причем мы предположим, что часть нити, лежащая на столе, прямолиненна и́ расположена под прямым углом к краю стола. Пусть $\boldsymbol{l}$ обозначает полную длину нити, $\mu$ – ее линейную плотность (т. е.массу, приходящуюся на единицу длины), $u$-скорость нити в тот момент, когда длина ее вертикальной части равна $x$. Если натяжение нити на краю стола обозначить через $T$, то, рассматривая вертикальную часть нити, мы имеем:
\[
\mu x \frac{d u}{d t}=g \mu x-T
\]
a рассматривая горизонтальную часть, имеем:
\[
\mu(t-x) \frac{d u}{d t}=T \text {. }
\]
1) Определение момента скользящего вектора относительно оси, пер пендикулярной к плоскости, в которой вектор расположен, уже было дано (.Статика\”, §20). Чтобы найти момент относительмо оси, проходящей в любом направлении, мы разлагаем вектор на два ортогональных составляющих вектора, из которых один параллелен рассматриваемой оси, а другой расположен в плоскости, перпендикулярной к оси. Момент последнего составляющего вектора и будет требуемым моментом. Конечно, при этом необходнмо известное соглашение этносительно знака.

Легко вывести следствие, что гумма моментов двух пересекающихся скользяе щих векторов относитьльно любой оси равна моменту их результирующего вектора относительно той же осн.

Путем сложения находим:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{g x}{l} .
\]

Так как $u=\frac{d x}{d t}$, то это дает:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=n^{2} x
\]

где $n^{2}=\frac{g}{l}$, и общее решение будет:
\[
x=A e^{n t}+B e^{-n t},
\]

где постоянные $A, B$ зависят от начальных условий.
Формула (3) вытекает также из теоремы энергии. Так как вертикальная часть нити имеет массу $\mu x$ и так как ее центр масс расположен на $\frac{1}{2} x$ ниже уровня стола, то потенциальная энергия будет меньше, чем если бы вся пепь находилась на этом уровне, на величину $\frac{1}{2} g \mu x^{2}$ („Стагика“, § 50). Следовательно,
\[
\frac{1}{2} \mu l_{\ell}{ }^{2}=\frac{1}{2} g \mu x^{2}+\mathrm{const},
\]

причем постоянное зависит от той длины, которая свешивалась вначале. Диференцируя по $x$, мы в соответствии с (3) получим: .
\[
u \frac{d u}{d x}=\frac{g x}{l} .
\]

Изменим теперь задачу, предположив, что часть нити, находящаяся на столе, смотана в клубок у самого края стола. В течение короткого промежутка времени $\delta t$ в движение со скоростью $u$ вступит дополнигельная масса цибt. Следовательно, рассматривая получающееся количество движения, мы будем иметь:
\[
\mu u t \partial \cdot u=T \hat{\partial} t
\]

или
\[
T=\mu u^{2} .
\]

Это уравнение заменяет уравнение (2). Сделав соответствующую подстановку в (1) и введя $u \frac{d u}{d x}$ вместо $\frac{d u}{d t}$, мы получим:
\[
x u \frac{d u}{d x}+u^{2}=g x \text {. }
\]

Это уравнение может быть представлено в виде:
\[
2 x^{2} u \frac{d u}{d x}+2 x u^{2}=2 g x^{2},
\]

и в таком виде оно сразу интегрируется; таким образом мы будем иметь:
\[
x^{2} u^{2}=\frac{2}{3} g x^{3}+\text { const. }
\]

Проинтегрировать это уравнение в общем виде, не пользуясь эллиттическими функциями, нельзя. Но если нить начинает двигаться без начальной скорости с края стола, так что при $\boldsymbol{x}=0$ и $\boldsymbol{u}=0$ постоянное обращается в нуль, то формула (12) обращается в следующую:
\[
u^{2}=\frac{2}{3} g x
\]

это равенство показывает, что ускорение постоянно и равно $\frac{1}{3} g$.
Следует заметить, что уравнение энергии при применении к задачам данного типа прнводит к ошибочным результатам, если не учесть непрерывной потери энергии, имеющей место на краю стола, когда один элемент нити за другим приходит в движение. В § 42 было найдено, что если коэфициент восстановления $e$ равен нулю, как это следует предположить в данном случае, то энергия, теряемая при ударе одной о другую масс $m, m^{\prime}$, будет:
\[
\frac{1}{2} \frac{m m^{\prime}}{m+m^{r}} u^{8}
\]

где $u$ есть относительная скорость неносредственно перед ударом. В рассматриваемом случае мы имеем $m=\mu x ; m^{\prime}=\mu u \delta t$, так что потеря ьнергии за время оt равна $\frac{1}{2} \mu t^{2} \delta t$. Следовательно, приравнивая изменение потенциальной энергии сумме действительно достигнутой кинетической энергии и потери энергии, мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} g \mu x^{2} & =\frac{1}{2} \mu x u^{2}+\frac{1}{2} \mu \int u^{3} d t= \\
& =\frac{1}{2} \mu x^{2}+\frac{1}{2} \mu \int u^{2} d t .
\end{aligned}
\]

Продиференцировав это равенство по $x$, мы получим уравнәние (10):