Нетрудно учесть влияние трения на малые колебания сферического маятника (§29). В этом случае уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k \frac{d x}{d t}+\mu x=0, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+k \frac{d y}{d t}+\mu y=0,
\]

при любых направлениях осей. Если будет $k^{2}<4 \mu$, то решение уравнений будет:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=e^{-\frac{1}{2} k t}(A \cos n t+B \sin n t), \\
y=e^{-\frac{1}{2} k t}(C \cos n t+D \sin n t) .
\end{array}\right\}
\]

Если мы совместим начало отсчета времени $t$ с моментом, когда груз маятника пересекает ось $x$, например, в точке $(a, 0)$, то мы получим $A=a, C=0$; если, кроме того, мы проведем ось $y$ через положение, занимаемое материальною точкою по истечении времени $\frac{1}{2} \frac{\pi}{n}$, то мы будем иметь $B=0$. Таким образом решение примет вид:
\[
x=a e^{-\frac{1}{2} k t} \cos n t, \quad y=b e^{-\frac{1}{2} k t} \sin n t .
\]

Следовательно, мы можем сказать, что точка движется по эллипсу, который непрерывно сжимается по показательному закону, сохраняя всегда одно и то же отношение осей и их направление.

Если мы проведем два взаимно перпендикулярных радиуса, то очевидно, что для одних положений этих радиусов время прохождения точки от одного из них к другому будет меньше, а для других положении больше, чем $\frac{1}{2} \frac{\pi}{n}$, т. е. четверть периода. Следовательно, имеются два таких взаимно перпендикулярных радиуса, что соответствующии интервал времени прохождения точки от одного из них к другому в точности равен значению $\frac{1}{2} \frac{\pi}{n}$. Направлениями этих радиусов можно определить систему прямоугольных осей координат, н мы предположим, что формулы (3) относятся к этой системе осей координат.

Дей гвительную траекторию можно рассматривать как эллиптическую спираль. Если $a=b$, то мы получим логарифмическую спираль, рассматривавшуюся нами в $\S 94$.

Задача о сферическом маятнике тождественна с здатею о движечии материальной точки в чаше сферической формы. Интересное вндоизменение представляет случай, когда чаща вращается с постоянною угловою скоростью ю около вертикальной оси, проходяшей через ее центр. Если мы пговедем неподвижные горизонтальные оси $x, y$, как прежде, с началом координат в наиболее низкой точке чаши, то составляющие скорости в точке $(x, y)$ чаши соответственно будут – $\omega у$, $\boldsymbol{x}$. Следовательно, составляющие скорости материальной точки относительно чаши будут выражаться формулами:
\[
\dot{x}+\omega y, \quad \dot{y}-\omega x .
\]

Таким образом, предполагая, что трение пропорционально относительной скорости, мы получим:
\[
\ddot{x}=-n^{2} x-k(\dot{x}+\omega y), \quad \ddot{y}=-n^{2} y-k(\dot{y}-\omega x),
\]
rमe
\[
n^{2}=\frac{g}{a}
\]

и $a$ есть ралиус чаши.
Решение системы линейных уравнений типа (5) обычно упрощается введением комплексных количеств, но в данном случае мы можем получить решение следующим образом. Положим
\[
x=r \cos (\lambda t+\varepsilon), \quad y=r \sin (\lambda t+\varepsilon),
\]

где. $r$ представляет функию от $t$, подлежащую определению. Подставив эти вначения в (5), мы найдем, что оба ураьнения удовлетворяются при выполнении равенств:
\[
\begin{aligned}
\ddot{r}+k \dot{r}+\left(n^{2}-\lambda\right) r & =0, \\
2 \dot{\lambda}+k(\lambda-\omega) r & =0 .
\end{aligned}
\]

Исключал $r$, получим:
\[
\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-n^{2}\right)+\frac{1}{4} k^{2}\left(\lambda^{2}-\omega^{2}\right)=0 .
\]

Действительные корни этого уравнения имеют приближенные значення
\[
\lambda= \pm n,
\]

если пренебречь квадратом величины $k$ 1). Из (9) мы получим:
\[
r=C e^{-\frac{1}{2} k\left(1-\frac{\omega}{\lambda}\right) t .}
\]

Таким образом мы получаем решения:
\[
x=C e^{-y t} \cos (n t+\varepsilon), \quad y=C e^{-v t} \sin (n t+\varepsilon)
\]

и
\[
x=C^{\prime} e^{-v^{\prime} t} \cos \left(n t+\varepsilon^{\prime}\right), \quad y=-C^{\prime} e^{-\gamma^{\prime} t} \sin \left(n t+\varepsilon^{\prime}\right),
\]

где
\[
y=\frac{1}{2} k\left(1-\frac{\omega}{n}\right), \quad y^{\prime}=\frac{1}{2} k\left(1+\frac{\omega}{n}\right) .
\]

Так как диференциальные уравнения линейны, то эти результаты можно сложить.
Формулы (13) и (14) представляют круговые колебания с постепенно изменяющеюся амплитудою и с противоположными направлениями вращения. Если $\omega<n$, то амплитуда в обоих случаях уменьшается по показательному закону. Но если сделается $\omega>n$, то знак у изменится на обратный, и амплитуда кругового колебания, направление которого соответствует направлению угловой скорости $\omega$, будет непрерывно возрастать. В этом случае точка движется наружу по спираль-
1) Если бы мы исследовали комплексные решения, то мы нашяи бы, что они не приводят к новым результатам. Так как формулы (13) и (14) содержат ч етыр е произвольных постоянных $C, C$, , $^{\prime} \varepsilon$, то это показывает, чю полученное решение является общим.

ной траектории, приближаясь к состоянию относительного равновесйя, подобно грузу конического маятника (§35, пример 1), причем угловое расстояние от вертикали будет
\[
\arccos \frac{g}{\omega^{2} a} \text {. }
\]

Отсюда следует, что относительное равновесие материальной точки, когда она находится в самой низкой точке чаши, является неустойчивым.

Мы уже указали (§33), что критерий устойчивости для относительного равновесия должен быть несколько изменен. Критерий, данный на стр. 80, в применении к уравнению энергии относительного движения [§33, (10)] показывает, что для получения устойчивости в этом случае выражение
\[
U-\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

должно обращаться в минимум. Если мы обозначим высоту над касательной плоскостью, проведенной через самую низкую точку чаши, через $z$, то приближенно будем иметь $x^{2}+y^{2}=2 a z$, и, следовательно,
\[
U-\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=m\left(g-\omega^{2} a\right) z .
\]

Это выражение будет иметь положительный знак, и, следовательно, самое низкое положение будет устойчивым только при условии, если $\omega^{2}<\frac{g}{a}$.

Если угловое расстояние материальной точки от наинизшего положения обозначить через $\theta$, то будет
\[
U-\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+\jmath^{2}\right)=m a\left\{g(1-\cos \theta)-\frac{1}{2} \omega^{2} a \sin ^{2} \theta\right\} .
\]

Легко видеть, что в случае $\omega^{2}>\frac{g}{a}$ это выражение обращается в минимум, когда $\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} a}$. Следовательн, такое положение относительного равновесия, если оно существует, является устойчивым.