Рассмотрим вынужденные колебания физического маятника (фиг. 45), вызываемые заданными горизонтальными перемещениями штатива $O$.

Если мы предположим, что амплитуда колебаний незначительна, то перемещения центра масс $G$ в вертикальном направлении будут величинами второго порядка, и потому вертикальная составляющая реакции в точке $O$ будет с известным приближением равна $Mg$. Следовательно, если горизонтальную составляющую реакции штатива маятника мы обозначим через $X$, то, определив моменты относительно $G$, мы получим уравнение:
$$M{x}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-Mgh\theta -Xh,$$

принимая обозначения остальных величин из § 55. Если § есть горизонтальное перемещение точки $O$, то горизонтальное перемещение центра масс $G$ будет $\xi +h9$. Следовательно,
$$M\frac{d^2}{d{t}^2}(\xi +h\theta )=X.$$

Исключая $X$, мы найдем:
$$l\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+g\theta =-\frac{d^2\xi }{d{t}^2},$$

где
$$l=h+\frac{x^2}{h}.$$

Полагая
$$x=\xi +t\theta ,$$
т. е. обозначая через $x$ горизонтальное перемещение пентра качаний, мы получаем следующее уравнение:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{g}{l}x=\frac{g}{l}\xi ,$$
т. е. такое же уравнение, как в случае математического маятника длины $l$ [§ 13, (13)].
Если мы положим
$$n^2\doteq \frac{g}{l},$$

так, что $\frac{2\pi }{n}$ представляет период свободных колебаний, то вынужденные колебания, производимые простым гармоническим колебанием
$$\xi =C\cos pt$$

точки подвеса, будут происходить по закону
$$\theta =\frac{p^2\xi }{(n^2-p^2)l},$$

или
$$x=\frac{\xi }{1-\frac{p^2}{n^2}}.$$

Очевидно, что эти формулы применимы к „горизонтальному маятнику“, рассмотренному в § 55, если мы заменим $g$ через $g\sin \beta$, где $\beta$ представляет угол наклона оси подвеса к вертикали, и соответственно вместо (6) положим
$$n^2=\frac{g\sin \beta }{l}.$$

Формула (9) показывает, что если $p$ в сравнении с $n$ велико, то $x$ в сравнении с $\xi$ будет мало. Следовательно, в случае вынужденных колебаний, имеющих очень большую частоту в сравнении с частотою собсгвенных колебаний маятника, центр качаний (поскольку это относится к вынужденным колебаниям) остается почти неподвижным.

Эти замечания находят применение в теории сейсмографов. Сейсмограф представляет инструмент, назначение которого заключается в определении с наибольшею возможною точностью какой-либо составляющей движения земной коры, вызываемого землетрясениями или другими причинами. Чтобы сделать такое определение возможно более точным, необходимо иметь какое-либо тело, не участвующее в изучаемом движения земной коры или хотя бы в одном из составляющих его движений, т. е. находящееся в относительном безразличном равновесии. Конечно, последнее условие является не вполне практичным, и некоторая степень устойчивости необходима, но если восстанавливающая сила, возникающая вследствие относительных перемещений, будет незначительна, а период свободных (собственных) колебаний будет соответственно велик, то тело будет подвержено влиянию сравнительно частых колебаний лишь в незначительной степени. Математический маятник достаточной длины, двнжение котор то ограничено одною вертикальною плоскостью, будет удовлетворять этому услсвию, по кра ней мере в отношении измерения горизонтальной составляющей любого перемещения. Для большего удобства, однако, употребляется один из типов „горизонтального маятника“, ось подвеса которого составляет очень небольшой угол с вертикалью. Таким путем можно получить прибор небольших размеров, заменяющий математический маятник в 90 или $120\mathcal{M}$ длины. Прибор может состоять, например, из легкого стержня $AB$ с острием на одном конце $A$, опирающимся о неподвижную поверхность, с грузом $W$ на другом конце, подвешенным при помощи тонкой проволочки к точке $C$ (фиг. 62). Точка $C$ должна быть расположена близко к вертикали, проходящей через точку $A$, но не на самой вертикали. Тогда осью вращения будет прямая $AC$. Конечно, в действительности наблядается перемещение какой-либо точкй $P$ горизонтального маятника, т. е. стержня $AB$, относительно штатива прибора. Это относительное перемещение увеличивается оптическим или механическим путем и записывается на равномерно движущейся ленте или куске бумаги, на которых и получается соответствующий график пути. K сожалению, масштаб кривой изменяется вместе с частотою колебаний, причем относительное перемещение точки $P$ выражается формулою:
$$l^{\prime }\theta =-\frac{1}{1-\frac{n^2}{p^2}}\cdot \frac{l^{\prime }}{l}\cdot \xi ,.$$

где $l^{\prime }$ обозначает расстояние точки $P$ от $A$. При достаточно быстрых колебаниях первый множитель в (11) мало отличается от единицы, и поэтому масштаб будет постоянным, но при малых значениях отношения $\frac{p}{n}$ масштаб искажается в большей или меньшей степени.

Для получения истинных смещений $\epsilon$ почвы мы должны умножить относительное перемещение точки $P$ на
$$-(1-\frac{n^2}{p^2})\frac{l}{l^{\prime }}.$$

Конечно, этот метод приложим только к тем участкам сейсмограммы (кривой, записанной сейсмографом), которые состоят из ряда простых приблизительно гармонических колебаний, как это часто бывает вблизи максимальной фазы землетрасений.

Хорошо оборудованная сейсмическая обсерватория всегда имеет два инструмента типа, более или менее подобного описанному, один инструмент для $\mathrm{N}-\mathrm{S}$ составляющей движения, а другой для $\mathrm{E}-\mathrm{W}$ составляющей. Для регистрации вертикальной составляющей необходима несколько иная установка. Установка, предложенная Юингом (Ewing), состоит из же́ткой рамн, сушественная часть которой представлена на фиг. 63 в виде $AOB$; эта часть может вращаться около горизонтальной оси, проходящей через точку $O$. Стержень $OA$, расположенный в горизонтальном направлении имеет груз $W$, причем точка $B$ стержня $OB$ посредством спиральной пружины соединена с неподвижною точкою $C$. Если груз $W$ слегка отклонится от своего положения равновесия, то момент силы тяжести относительно точки $O$ почти не изменится, но натяжение пружины увеличится, несмотря на то, что плечо силы натяжения относительно \» $O$ уменьшится. Размеры инструмента подбираются таким образом, чтобы влияние первого фактора было несколько больше второго; тогда восстанавливающая сила будет незначительна, и период свободных (собственных) колебаний будет велик. Следовательно, динамические свойства установки в суццости такие же, как в предыдущем случае, и действие прибора под влиянием вынужденных вертикальных колебаний оси $O$ происходит по тем же законам ${}^1$ ).

До сих пор мы рассматривали одни вы нужденные колебания. Конечно, одновременно с вынужденными происходят и собственные (свободные) колебания, как это выяснено в § 13 , которые вносят искажения в кривые, записываемые сейсмографом, если только при этом не применяются специальные успокоительные (демпфирующие) приспособления. Действие их рассматривается в главе XII (§95).

Можно добавить, что в самых после ıних моделях сейсмографов ${}^2$ ) регистрация как горизонтальных, так и вертикальных колебаний производится по совершенно иному принципу. К маятнику прикреплены катушки, из тонкой проволоки, в которых при прохождении во время качания маятника между полюсами неподвижных магнитов индуктируются
4) Общая теория вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы приведена в § 111 .
2) Предложенных Голицыным.

электрические токи. Эти токи пропускаются через апериодический зеркальный гальванометр, зеркальце которого отражает зайчик на движущуюся ленту из светочувствительной бумаги. Следовательно, показания этого прибора зависят от угловой скорости, а не от углового смещения маятника.