1. Одно судно приближается к порту со скоростью $u$, а другое выходит из порта со скоростью $v$, причем оба курса прямолинейны и составляют один с другим угол $\alpha$. Доказать, что, когда расстояние между судами будет наименьшим, их расстояния от порта будут относиться, как $v+u \cos \alpha$ к $u+v \cos \alpha$.
2. В каком направлении следует держать курс судна, скорость которого равна 16 км/час, чтобы достичь пункта, находящегося на расстоянии 20 км в направлении NNE, если имеется течение в направлении SE со скоростью 4 км/час? Сколько времени для этого понадобится?
3. Когда пароход шел прямо на север со скоростью 20 км/час, флюгер на вершине мачты указывал наппавление ENE, а когда пароход остановился, флюrep указывал направленне SE; найти скорость ветра.
В каком направлении пароход должен итти, чтобы флюгер указывал направление E? на мачте указывает направление NNE; затем пароход повертывает на север, и флюгер указыьает на NNW; с какой стороны дует ветер и с какой скоростью?
[NW; $20 \mathrm{kM} /$ час.]
5. Пусть будут $P$ и $Q$ две точки на спицах колеса; найти направление и величину скорости точки $Q$ относительно точки $P$, если даны радиус $a$ колеса и скорость $v$ вагона.
6. Пусть даны годограф движущейся точки и закон, по которому кривая годографы описывается; показать, как можно найти траектор тю точки. Как скажется изменение положения полюса? Показать, что если годограф будет круг, описываемый с постоянной скоростью, то траекториею будет трохоида.
7. Судно движется поперек течения с постоянной скоростью относительно воды, равной скорости течения. Доказать, что если судно будет держать курс на неподвижную точку берега, то его тракториеи будет парабола, имеющая эту точку фокусом, а действительной точкой причала будет вершина параболы.
8. Показать, что если в предыдущей задаче отношение скоросги течения к (относительной) скорости судна будет $\frac{1}{n}$, то уравнение траектории в полярных координатах будет:
\[
r=\frac{a\left(\sin \frac{1}{2} \theta\right)^{n-1}}{\left(\cos \frac{1}{2} \theta\right)^{n+i}} .
\]
Исследовать случаи $n<1$ и $n>1$.
9. Доказать, что при-обозначениях § 23 скорость в любой точке эпициклической кривой будет:
\[
\sqrt{n^{2} a^{2}+2 n n^{\prime} a a^{\prime} \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)+n^{\prime 2} a^{\prime 2}}
\]
10. Доказать, что при обозначениях § 23 направление движения по эпициклической кривой проходит через начало координат, если
\[
\cos \left[\left(n-n^{\prime}\right) t+\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right]=-\frac{n a^{2}+n^{\prime} a^{2}}{\left(n+n^{\prime}\right) a a^{\prime}} .
\]
Показать, что это равенство может иметь место только в том случае, если $n a$ численно меньше, чем $n^{\prime} a^{\prime}$, где $a$ обозначает больший из двух радиусов $a, a^{\prime}$.
11. Доказать, что если эпициклическая кривая проходит через центр, то ее уравнение в полярных координатах будет иметь вид:
\[
r=a \cos m \theta,
\]
где $m \gtrless 1$ в зависимости от того, имеем ли мы эпициклику прямую или обратную.
12. Точка, имеющая ускорение, постоянное по величине и по направлению, проходит через три точки $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ соответственно в моменты времени $t_{1}, t_{2}, t_{3}$. Доказать, что ускорение по величине и направлению изображается вектором
\[
\frac{2\left(P_{2} P_{3} \cdot t_{1}+P_{3} P_{1} \cdot t_{2}+P_{1} P_{2} \cdot t_{2}\right)}{\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{3}-t_{1}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)} .
\]
13. Точка имеет ускорение, постоянное по величине и по направлению. Доказать, что ее траектория относительно точки, движущейся по прямой линии с постоянною скоростью, будет парабола.
14. Доказать путем диференцирования равенств
\[
\dot{x}=v \cos \psi, \dot{y}=v \sin \psi,
\]
что ускорение точки, описывающей плоскую кривую, складывается из составляющей $\frac{d v}{d t}$, направленной вдоль касательной, и из составляющей $v \frac{d \psi}{d t}$, направленной к центру кривизны.
15. Доказать путем диференцирования равенств
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta,
\]
что в полярных координатах составляющие скорости в направлении вдоль радиуса-вектора и в направлении, перпендикулярном в нему, будут:
\[
\dot{r}, r \dot{\theta}
\]
и что составляющие ускорения в тех же направлениях соответственно будут:
\[
\ddot{r}-r \dot{\theta} 2, \quad r \ddot{\theta}+2 \ddot{r} \ddot{\theta},
\]
16. Доказать, что если складываются два простых гармонических колебания одного и того же периода вдоль одной и той же прямой, амплитуды которых равны $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$, а фазы отличаются на $\varepsilon$, то амплитуда результирующего колебания будет:
\[
\sqrt{a^{2}+2 a b \cos \varepsilon+b^{2}}
\]
17. Доказать, что если угловые скорости будут между собой равны и противоположны, то эпициклической кривой будет эллипс.
18. Концы $P, Q$ стержня принуждены двигаться по двум взаимно перпендикулярным прямым линиям $O A, O B$. Доказать, что если скорость точки $P$ постоянна, то ускорение в любой точке стержня будет перпендикулярно к $O A$ и будет изменяться обратно пропорционально кубу расстояния от $O A$.
19. Нить сматывается с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{c}$. неподвижного барабана, причем свободная часть нити туго натягивается в плоскости, перпендикулярной к оси. Доказать, что ускорение конца $P$ нити направлено вдоль $P R$ и равно $\omega^{2} \cdot P R$, где точка $R$ расположена на радиусе, проходящем через точку касания, на двойном расстоянии от центра.
20. Доказать, что эпициклическое движение эквивалентно такому движению по эллипсу, вращающемуся равномерно около своего центра, при котором относительное движение на эллипсе подчиняется закону эллипгического гармонического колебания ( $\S 28$ ).
