1. Воздушный шар, имеющий массу $M$, падает с ускорением $f$; какое количество баласта нужно выбросить из корзины, чтобы шар мог приобрести ускорение $f$, направленное вверх? (Пренебречь сопротивлением воздуха.)
\[
\left[\frac{2 M f}{(f+g)} \cdot\right]
\]
2. Горизонтальный импульс, приложенный к массе $m$, покоящейся на неподвижной горизонтальной доске, сообщает ей скорость $v_{0}$. Найти время, по истечении которого масса остановится, а также пройденный путь, если коэфициент трения равен $\mu$.
Пусть доска (с массой $M$ ) находится на горизонтальном столе и может также двигаться. Доказать, что доска не начнет двигаться, если коэфициент трения между доской и столом будет более, чем
\[
\frac{m}{M+m} \cdot \mu .
\]
3. Винтовка, ствол которой имеет длину 75 см, сообщает при выстреле пуле весом 302 скорость 300 м/сек; найти (в кгм) кинетическую энергию пули.
Вычислить, кроме того (в лошадиных силах), работу давления газов в течение того периода времени, пока пуля находится в дуле, предполагая, что давление газов на пулю во время выстрела постоянно.
4. Пусть будет $P$ сила тяги (в тоннах), приложенная к поезду весом $W m$, а $R$ – сопротивление. Доказать, что минимальное время прохождения поездом расстояния $s$ с остановками в начале и в конце этого расстояния будет:
\[
\sqrt{\frac{2 s}{g} \frac{W P}{R-R)}},
\]
а максимальная скорость будет:
\[
\sqrt{2 g s \frac{R(P-R)}{W R}} .
\]
Произвести вычисления для случая $P=21 \mathrm{~m}, W=800 \mathrm{~m}, R=14 \mathrm{~m}, \mathrm{~s}=1,5 \mathrm{k}$ [4 минуты; 48 км/час]
5. Железнодорожный вагон катится с постоянной скоростью вниз по пути с уклоном а. Каково будет его ускорение на пути с уклоном $\beta(>a)$, предполагая, что сопротивление трения в обоих случаях пропорционально нормальному давлению?
\[
\left[\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\cos \alpha} \cdot g .\right]
\]
6. На расстоянии $l$ от станции от экспресса, идущего с полною скоростью, отрывается вагон; доказать, что если вагон остановится на станции, то поезд будет находиться за станцией на расстоянии $\frac{M \cdot L}{M-m}$, где $M$-масса поезда до разрыва, а $m$-масса вагона (предполагается, что тяга поезда постоянна, а сопротивление каждой части поезда постоянно и пропорционально весу).
7. Доказать, что средняя кинетическая энергия точки с массою $m$, движущейся под действием постоянной силы, в любом промежутке времени будет выражаться формулой:
\[
\frac{1}{6} m\left(u_{1}^{2}+u_{1} u_{2}+u_{2}^{2}\right),
\]
где $u_{1}, u_{2}$ обозначают начальную и конечную скорости.
Доказать, что эта величина больше кинетической энергии в средний момент промежутка времени, но меньше кинетической энергии точки, когда она находится на полпути между ее начальным и конечным положениями.
4 л ам б. Двнамчка.
8. Молот ударяет по массе весом 0,35 к и сообщает ей скорость 0,3 м/сек. Найти наибольшее давление, развиваемое во время удара, в предположении, что давление визрастает равномерно от нуля до максимума и затем так же равномерно уменьшается от максимума до нуля, причем полная продолжительность удара составляет 0,001 сек.
9. Показать, что если построить кривую, откладывая кинетическую энергию материальной точки вдоль оси ординат, а пройденный путь вдоль оси абсцисс, то сила будет измеряться наклоном кривой.
10. Доказать, что если работа, производимая силой, увеличивается равномерно, то скорость, приобретенная точкою приложения силы в конце пути $x$, будет пропорциональна $x^{\frac{1}{3}}$. (Начальная скорость точки равна нулю.)
11. По гладкому (т. е. без трения) горизонтальному пути идут два поезда одинаковой массы; паровоз одного из них развивает постоянную тягу, а работа, производимая другии паровозом, увеличивается пропорционально времени (т. е. мощность его постоянна). Доказать, что если они имеют одинаковые скорости в дьа разных момента времени, то второй поеза за промежуток врежени между этими двумя моментами пройдет большее расстояние и что в средний момент этого промежутка времени мощности, развиваемые паровозами, одинаковы.
Простое гармоническое движение, маятник ит. п.
1. Горизонтальная платформа движется вверх и вниз по закону простого гармонического колебания с периодом $\frac{1}{2}$ сек. Определить, какая допустима максимальная амплитуда, чтобы груз, помещенный на платформу, не мог на ней поднрыгивать?
$[6,1$ c..$]$
2. На груз маятника, имеюшего длину $l$ и первоначально находившегося в покое, в течение времени $t_{1}$ действовала незначительная постоянная горизонта.ьная сила; затем действие силы прекратилось. Доказать, что амплитуда последующих колебаний маятника будет:
\[
\frac{2 f}{n^{2}} \cdot \sin \frac{1}{2} n t_{1},
\]
где $f$-ускорение, сообщаемое силой, а $n=\sqrt{\frac{g}{l}}$.
3. Доказать, что если бы был прорыт прямой туннель из Лондона в Париж, расстояние между которыми составляет (в круглых цифрах) 320 км, то поезд прошел бы весь туннель под дейстеием одной только силы тяжести приблизительно в 42 мин., и что максимальная скорость была бы приблизительно равна 720 км/час.
4. Масса весом 1,75 кг подвешена к спиральной пружине и согласно наблюдениям делает 50 полных колебаний в 16,5 сек. Найти в килограммах силу, необходимую для того, чтобы вытянуть пружину на 2,5 см. Кроме тoro, найти период колебаний, если будет прикреплен добавочный груз $1,75 \% 2$.
5. Масса $M$ подвешена к спиральной пружине, свободный конец которой закреплен в точке $O$. Если точка $O$ неподвижна, то период вертикальных колебаний будет составлять одну секунду. Найти амплитуду вынужденных колебаний $M$, если точка $O$ будет совершать простое гармоническое колебание в вертикальном направлении с амплитудою 2,5 см и с периодом 0,5 сек. В какой вависимости будут фазы для точек $M$ и $O$ ?
6. Ареометр плавает в вертикальном положении в жидкости; объем вытесняемой им жидкости составляет 30 с. , $^{3}$, а диаметр его цилиндрической части равен 0,8 см. Доказать, что период малых вертикальных колебаний ареометра равен 1,55 сек.
7. Доказать, что если при простом гармоническом движении начальное смөщение будет $x_{0}$, а начальная скорость $u_{0}$, то амплитуда будет равна:
\[
\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{u_{0}^{2}}{n^{2}}}
\]
а начальная фаза
\[
-\operatorname{arctg} \frac{u_{0}}{n x_{0}} .
\]
8. Доказать, что если при простом гармоническом движении скорость $v$ мгновенно изменится в $v+\delta v$, то изменения амплитуды $a$ и фазы определятся по формулам:
\[
\delta a=-\frac{\delta v}{n} \sin \varphi, \quad \delta \varphi=-\frac{\delta v}{n a} \cos \varphi .
\]
9. Доказать, что при малых колебаниях маятника средние значения кинетической и потенциальной энергий между собой равны.
10. Доказать, что за половину полного колебания маятника между двумя его положениями равновесия средняя скорость груза равна 0,637 максимальной скорости.
11. Маятник поднят на высоту 1,609 км над поверхностью земли; на какую дробную часть должна быть уменьшена его длина, чтобы он мог колебаться с тем же периодом, как и прежде?
\[
\left[\frac{1}{2000} \cdot\right]
\]
12. Груз подвешен на канате длиною 30 м. Если он начнет двигаться из своего наинизшего положения со скоростью (4,75 м сек, то насколько он отклонится в сторону до момента потери скорости? Во сколько секунд он пройдет первые $0,75 \boldsymbol{m}$ ?
13. Математический маятник подвешен к крыше железнодорожного вагона и остается в вертикальном пол жении, пока поезд идет со скоростью 48,3 км/час. При торможении маятник начинает качапься с амплитудой $1,5^{\circ}$. Доказать, что если сонротивление постоянно, то поезд остановится примерно через 350 ж.
14. Масса $M$, поцвешенная к кониу горизонтальной балки длиною $l$ с площадью пэперечного сєчения $\omega$, совершает вертикальные колебания с периодом $T$. Доказать, что модуль Юнга материала балки будет выражаться в абсолютных единицах формулою:
\[
\frac{4 \pi^{2} M / 3}{3 \omega k^{2} T^{2}},
\]
где $x$ – радиус инериии поперечного сечения относительно горизонтальной линии, прохолящей через центр тяжести сечения.
15. Масса $M$ подвешена к середине горизонтального стержня длины $l$, опираюшегося своими концами. Найти жесткость стержня при изгибе, пренебрегая инериией стержия, если период вертикальных кольбаний $M$ будет $T$ сек. (\”Статика“, § 146).
\[
\left[\frac{\frac{1}{12} \pi^{2} M l^{3}}{T^{2}} \cdot\right]
\]
16. Нить, конщы которой закреплены, натянута с силой $P$. Доказать, что работа силы, необходимой для того, чтобы вызвать небольшое отклонение $x$ в поперечном направлении в данной точке, будет равна:
\[
\frac{a+b}{2 a b} P x^{2},
\]
где $a, b$ представляют расстояния точки от концов нити.
Доказать, что эта работа равна работе, необходимой для преодоления натяжения $P$ при соответствующем увеличении длины нити.
17. Материальная точка $m$ прикреплена к легкой струне, туго натянутой между двумя неподвижными точками с силою $P$. Доказать, что при расстояниях $a$ и $b$ точки $m$ от обоих концов период малых поперечных колебаний будет:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{m}{P} \cdot \frac{a b}{a+b}} .
\]
Показать, что для струны данной длины период будет наибольшим, когда материальная точка прикреплена к середине струны.
18. Материальная точка выведена из своего положения неустойчивого равновесия; начертить различные формы графика, выражающего зависимость пути от времени для начальной стадии движения.
19. Показать, что если в § 14 возмущающая сила $f(t)$ будет пропорциональна количеству $e^{-\frac{t^{2}}{\tau^{2}}}$, то уравнение результирующего простого гармонического колебания будет:
\[
x=\frac{u_{1}}{n} e^{-\frac{1}{4} n q_{\tau}} \sin n t,
\]
где $u_{1}$ – скорость, сообщаемая мгновенным импульсом той же величины.
(Вывод основан на применении формулы:
\[
\left.\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{a^{4}}} \cos 2 b x d x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi} a e^{-a^{9} b^{2}} \cdot\right)
\]
Переменное полетяготения ит. п.
1. Материальная точка подброшена с поверхности земли вверх со скоростью, которая подняла бы ее на высоту $h$, если бы сила тяжести с высотой не изменялась. Доказать, что если учесть изменение силы тяжести, но пренебречь сопротивлением воздуха, то достигнутая точкой высота будет больше на $\frac{h^{2}}{(a-h)}$, где $a$ – радиус земли.
2. Материальная точка подброшена вертикально вверх с минимальной скоростью, достаточной для удаления точки в бесконечность. Доказать, что промежуток времени, по истечении которого точка достигнет высоты $h$, будет:
\[
\frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 a}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{a}\right)^{\frac{3}{2}}-1\right],
\]
где $a$ – радиус земли.
3. Материальная точка подбронена с поверхности земли вверх со скоростью 1,6 км/сек. Найти приближенное значение разности высот, достигнутых 1) в предположении, что сила тяжести постоянна, 2) в предположении, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра зем.ти.
[2,77 км.]
4. Если точка падает без начальной скорости с большой высоты на зємлю, то времена прохождения первой и второй половины всего расстояния с большим приближением относятся друг к другу, как 9 к 2.
5. Доказать, что если материальная точка движется прямолинейно под действием притяжения центральной силы, пропорциональной кубу расстояния, то кривая, выражающая зависимость пути от времени, будет представлять одно из конических сечений.
При каких условиях она будет эллипсом, соответственно параболою или гиперболою?
Исследовать случай, когда сила будет отталкивающей.
6. Материальная точка начала двигаться с расстояния $\boldsymbol{a}$ без начальной скорости к неподвижному пентру под действием силы притяжения, сообщающей ей ускорение $\frac{\mu}{(\text { расст.)3 }}$. Показать, что время падения точки будет равно:
\[
\frac{a^{2}}{\sqrt{m}} \text {. }
\]
7. Показать, что время падения без начальной скорости точки с расстояния $a$ в неподвижный центр под действием силы притяжения, сообщающей ей ускорение $\mu \times$ (расст.) $^{n}$, пропорционально величине
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}(1-n)}}{\sqrt{k}} .
\]
8. На материальную точку действуют две одинаковых центральных силы, сообщающих ей каждая ускорение $\frac{\mu}{(\text { расст.) }}$. Описать характер движения, если точка, находясь на одинаковых расстояниях $a$ от обоих центров, начнет двигаться без начальной скорости, и доказать, что максимальная скорость точки будет:
\[
2 \sqrt{\mu \frac{(a-b)}{a b}},
\]
где $2 b$ обозначает расстояние между центрами.
