Часто бывает удобно раз ложить ускорение движущейся точки на направления касательной и нормали, которые естественно связаны с траекториею и не зависят от произвольного выбора системы координат. В частности, так обстоит дело, когда траектория известна, именно когда точка принуждена двигаться по заданной траектории.
Пусть $P, P^{\prime}$ обозначают положения точки соответственно в моменты времени $t, t+\delta t$; предположим, что нормали в точках $P, P^{\prime}$ пересекаются в точке $C$, образуя одна с другой угол $\phi \psi$ (фиг. 31). Обозначим скорости в точках $P$ и $P^{\prime}$ через $v$ и $v+\delta v$. Если мы обозначим дугу кривой, измеряемую, как обычно, от некоторой неподвижной точки, через $s$, то на основании $\S 20$ (2) будем иметь:
\[
v=\frac{d s}{d t} .
\]

В промежутке времени $\delta t$ скорость, параллельная касательной в точке $P$, изменяется из $v$ в $(v+\delta v) \cos \delta \phi$, и, следовательно, ее приращение с точностью до малых величин первого порядка будет:
\[
(v+\delta v) \cos \delta \phi-v \text { или } \delta v,
\]

так как $\cos \delta \phi$ отличается от единицы на малую величину в торого порядка. Следовательно, среднее ускорение, параллельное касательной, проведенной в точке $P$, будет $\frac{\partial v}{\partial t}$, или в пределе:
\[
\frac{d v}{d t} \text {. }
\]

Далее, скорость, параллельная нормали, проведенной через точку $P$, изменяется из 0 в $(v+\delta v) \sin \delta \phi$ или $v \delta \phi$ с точностью до бесконечно малых величин первого порядка. Следовательно, среднее ускорение в направлении нормали, проведенной через точку $P$, будет $\frac{v \delta \phi}{\partial t}$, или
в пределе:
\[
v \frac{d \phi}{d t}
\]

Важное значение имеют несколько другие выражения для составляющих ускорения. Так, для касательного ускорения мы на основании (1) имеем:
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} s}{d t^{2}} .
\]

С другой стороны,
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}=v \frac{d v}{d s}
\]

если $v$ рассматривать как функцию от $s$.
Для нормального ускорения мы имеем:
\[
v \frac{d \varphi}{d t}=v \frac{d \Psi}{d s} \frac{d s}{d t}=\frac{v^{2}}{\rho},
\]

где $\rho\left(=\frac{d s}{d \psi}\right)$ обозначает радиус кривизны.
Предыдущие результаты можно вывести также из рассмотрения годографа. Пусть векторы $O V$ и $O V^{\prime}$ на фиг. 18 (стр. 56) изображают соответственно скорости $v$ и $v+\delta v$, а угол $V O V^{\prime}$ равен $\delta \phi$. Прирацение скорости $V V^{\prime}$ за время $\delta t$ можно разложить на два составляющих в направлении $O V$ и в направлении, перпендикулярном к $O V$, т. е. вдоль касательной и вдоль нормали к траектории, проведенных в точке $P$. Первая составляющая равна $\delta v$, а вторая $v \delta \psi$. Разделив на $\delta t$, мы получим в пределе формулы (2) и (3).

Преимущество этого доказательства заключается в том, что его легко обобщить на случай движения в пространстве трех измерений, когда траектория и годограф представляют кривые двоякой кривизны. Касательные к траектории в точках $P$ и $P^{\prime}$ вообще пересекаться не будут, но плоскость $V O V^{\prime}$, параллельная этим касательным, будет иметь определенное предельное положение, а именно она будет параллельна так называемой \»соприкасающейся плоскости \» траектории в точке $P$. Следовательно, результирующее ускорение будет лежать в соприкасающейся плоскости, и его составляющие вдоль касательной и \»главной нормали“, т. е. той нормали кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости, будут всегда определяться по формулам (2) и (3), при условии, что $\delta$ ф обозначает угол между соседними касательными к траектории. В этом случае выражение $\frac{d \psi}{d s}$ совпадает с тем, что в диференциальной геометрии называется „главной кривизной“ в точке $P$ и обозначается (обычно) через $\frac{1}{p}$. Следовательно, формула (6) для нормального ускорения применима и в данном случае.

Если единичные векторы в направлениях касательной и нормали обозначить соответственнө через $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{n}$, то в векторных обозначениях скорость $v$ определится по формуле:
\[
\boldsymbol{v}=v \boldsymbol{t} .
\]

Отсюда для ускорения мы получаем:
\[
\dot{v}=\dot{v} t+v t .
\]

Угол между $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{t}+i t$ равен $\partial џ$; так как эти векторы единичные, то предельное направление вектора it перпендикулярно к ним обоим, a, следовательно, параллельно главной нормали; кроме того, его длина равна $\delta \phi$. Следовательно; $\delta \boldsymbol{t}=\boldsymbol{n} \phi \psi$, и
\[
\dot{v}=\dot{v} t+v \dot{\psi} n .
\]

Таким образом ускорение выражено в виде геометрической суммы касательной составляющей $\dot{v}$ и нормальной составляющей $v \dot{\text { ф. }}$
ПРимер 1. В случае круговой орбиты радиуса $a$ мы имеем $s=a \phi$, откуда
\[
v=a \frac{d \phi}{d t}=a w
\]

где $\omega$-угловая скорость радиуса, проходящего через движущуюся точку. Следовательно, касательное ускорение будет:
\[
\frac{d v}{d t}=a \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}=a \frac{d \omega}{d t},
\]

а нормальное ускорение
\[
v \frac{d^{\prime}}{d t}=a \omega^{2} .
\]

Пример 2. Формулу (6) можно применить для репгения обратной задачи именно, для определения кривизны траектории, когда скорость и ускорение известны.

Так, например, в случае эпициклического движения (§23), когда движущаяся точка $P$ на фиг. 20 находится на наибольшем расстоянии от центра, ускорение обращено внутрь и складывается из ускорения $Q$ и из ускорения $P$ относител’но $Q$; на основании формулы (12) оно будет равно $n^{2} a+n^{\prime 2} a^{\prime}$. Аналогично можно видеть, что скорость будет $n a+n^{\prime} a^{\prime}$. Следовательно, кривизна будет:
\[
\frac{1}{\rho}=\frac{n^{2} a+n^{\prime 2} a^{\prime}}{\left(n a+n^{\prime} a^{\prime}\right)^{2}}
\]

Мы найдем кривизну в наиболее близком положении движущейся точки к центру в случае $a^{\prime}>a$ путем изменения знака у $a$, а именно, она будет иметь величину:
\[
\frac{1}{\rho}=\frac{n^{\prime} 2 a^{\prime}-n^{2} a}{\left(n^{\prime} a^{\prime}-n a\right)^{2}} .
\]

Эта величина будет отрицательною, если $n^{\prime 2} a^{\prime}<n^{2} a$.
Для орбиты Луны ( $P$ ) в ее движении относительно Солнца (O), мы можем положить $n=13 n^{\prime}, a^{\prime}=400 a$ (приближенно). Очевидно, что радиус кривизны $\rho$ будет всегда положительным; орбита Луны действительно всегда обращена к Солицу своею вогнутостью.

Если мы предположим, что обозначения $n^{\prime}, a^{\prime}$ относятся к движению Солнца ( $Q$ ) относительно Земли (O), а $n$, $a$ относятся к движению внутренней планеты $(P)$ относительно Солнца, то мы будем имет::
\[
n^{\prime 2} a^{\prime}-n^{2} a=n^{2} a^{3}\left(\frac{1}{a^{\prime 2}}-\frac{1}{a^{2}}\right),
\]

так как по третьему закону Кеплера $n^{2} a^{3}=n^{\prime 2} a^{\prime 3}$ (§ 80). Так как $a^{\prime}>a$, то это выражение имеет отрицттельный знак; н самом деле, орбита планеты в ее движении относительно Земли имеет петли и напоминает первый из двух типов эпициклических кривых, представленных на фиг. 21 (стр. 61). Случай внешней планеты также охватывается этими формулами, если мы предположим, что $P$ относиткя к планете, а $Q$-к Солнцу.