Часто бывает удобно раз ложить ускорение движущейся точки на направления касательной и нормали, которые естественно связаны с траекториею и не зависят от произвольного выбора системы координат. В частности, так обстоит дело, когда траектория известна, именно когда точка принуждена двигаться по заданной траектории.
Пусть $P,P^{\prime }$ обозначают положения точки соответственно в моменты времени $t,t+\delta t$; предположим, что нормали в точках $P,P^{\prime }$ пересекаются в точке $C$, образуя одна с другой угол $\varphi \psi$ (фиг. 31). Обозначим скорости в точках $P$ и $P^{\prime }$ через $v$ и $v+\delta v$. Если мы обозначим дугу кривой, измеряемую, как обычно, от некоторой неподвижной точки, через $s$, то на основании $\mathrm{\S }20$ (2) будем иметь:
$$v=\frac{ds}{dt}.$$

В промежутке времени $\delta t$ скорость, параллельная касательной в точке $P$, изменяется из $v$ в $(v+\delta v)\cos \delta \varphi$, и, следовательно, ее приращение с точностью до малых величин первого порядка будет:
$$(v+\delta v)\cos \delta \varphi -v\text{ или }\delta v,$$

так как $\cos \delta \varphi$ отличается от единицы на малую величину в торого порядка. Следовательно, среднее ускорение, параллельное касательной, проведенной в точке $P$, будет $\frac{\partial v}{\partial t}$, или в пределе:
$$\frac{dv}{dt}\text{. }$$

Далее, скорость, параллельная нормали, проведенной через точку $P$, изменяется из 0 в $(v+\delta v)\sin \delta \varphi$ или $v\delta \varphi$ с точностью до бесконечно малых величин первого порядка. Следовательно, среднее ускорение в направлении нормали, проведенной через точку $P$, будет $\frac{v\delta \varphi }{\partial t}$, или
в пределе:
$$v\frac{d\varphi }{dt}$$

Важное значение имеют несколько другие выражения для составляющих ускорения. Так, для касательного ускорения мы на основании (1) имеем:
$$\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}.$$

С другой стороны,
$$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}=v\frac{dv}{ds}$$

если $v$ рассматривать как функцию от $s$.
Для нормального ускорения мы имеем:
$$v\frac{d\phi }{dt}=v\frac{d\mathrm{\Psi }}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{v^2}{\rho },$$

где $\rho (=\frac{ds}{d\psi })$ обозначает радиус кривизны.
Предыдущие результаты можно вывести также из рассмотрения годографа. Пусть векторы $OV$ и $O{V}^{\prime }$ на фиг. 18 (стр. 56) изображают соответственно скорости $v$ и $v+\delta v$, а угол $VO{V}^{\prime }$ равен $\delta \varphi$. Прирацение скорости $V{V}^{\prime }$ за время $\delta t$ можно разложить на два составляющих в направлении $OV$ и в направлении, перпендикулярном к $OV$, т. е. вдоль касательной и вдоль нормали к траектории, проведенных в точке $P$. Первая составляющая равна $\delta v$, а вторая $v\delta \psi$. Разделив на $\delta t$, мы получим в пределе формулы (2) и (3).

Преимущество этого доказательства заключается в том, что его легко обобщить на случай движения в пространстве трех измерений, когда траектория и годограф представляют кривые двоякой кривизны. Касательные к траектории в точках $P$ и $P^{\prime }$ вообще пересекаться не будут, но плоскость $VO{V}^{\prime }$, параллельная этим касательным, будет иметь определенное предельное положение, а именно она будет параллельна так называемой \»соприкасающейся плоскости \» траектории в точке $P$. Следовательно, результирующее ускорение будет лежать в соприкасающейся плоскости, и его составляющие вдоль касательной и \»главной нормали“, т. е. той нормали кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости, будут всегда определяться по формулам (2) и (3), при условии, что $\delta$ ф обозначает угол между соседними касательными к траектории. В этом случае выражение $\frac{d\psi }{ds}$ совпадает с тем, что в диференциальной геометрии называется „главной кривизной“ в точке $P$ и обозначается (обычно) через $\frac{1}{p}$. Следовательно, формула (6) для нормального ускорения применима и в данном случае.

Если единичные векторы в направлениях касательной и нормали обозначить соответственнө через $\mathit{t}$ и $\mathit{n}$, то в векторных обозначениях скорость $v$ определится по формуле:
$$\mathit{v}=v\mathit{t}.$$

Отсюда для ускорения мы получаем:
$$\dot{v}=\dot{v}t+vt.$$

Угол между $\mathit{t}$ и $\mathit{t}+it$ равен $\partial џ$; так как эти векторы единичные, то предельное направление вектора it перпендикулярно к ним обоим, a, следовательно, параллельно главной нормали; кроме того, его длина равна $\delta \varphi$. Следовательно; $\delta \mathit{t}=\mathit{n}\varphi \psi$, и
$$\dot{v}=\dot{v}t+v\dot{\psi }n.$$

Таким образом ускорение выражено в виде геометрической суммы касательной составляющей $\dot{v}$ и нормальной составляющей $v\dot{\text{ ф. }}$
ПРимер 1. В случае круговой орбиты радиуса $a$ мы имеем $s=a\varphi$, откуда
$$v=a\frac{d\varphi }{dt}=aw$$

где $\omega$-угловая скорость радиуса, проходящего через движущуюся точку. Следовательно, касательное ускорение будет:
$$\frac{dv}{dt}=a\frac{d^2\psi }{d{t}^2}=a\frac{d\omega }{dt},$$

а нормальное ускорение
$$v\frac{d^{\prime }}{dt}=a{\omega }^2.$$

Пример 2. Формулу (6) можно применить для репгения обратной задачи именно, для определения кривизны траектории, когда скорость и ускорение известны.

Так, например, в случае эпициклического движения (§23), когда движущаяся точка $P$ на фиг. 20 находится на наибольшем расстоянии от центра, ускорение обращено внутрь и складывается из ускорения $Q$ и из ускорения $P$ относител’но $Q$; на основании формулы (12) оно будет равно $n^{2}a+n^{\prime 2}{a}^{\prime }$. Аналогично можно видеть, что скорость будет $na+n^{\prime }{a}^{\prime }$. Следовательно, кривизна будет:
$$\frac{1}{\rho }=\frac{n^{2}a+n^{\prime 2}{a}^{\prime }}{{(na+n^{\prime }{a}^{\prime })}^2}$$

Мы найдем кривизну в наиболее близком положении движущейся точки к центру в случае $a^{\prime }>a$ путем изменения знака у $a$, а именно, она будет иметь величину:
$$\frac{1}{\rho }=\frac{n^{\prime }2a^{\prime }-n^{2}a}{{(n^{\prime }{a}^{\prime }-na)}^2}.$$

Эта величина будет отрицательною, если $n^{\prime 2}{a}^{\prime }<n^{2}a$.
Для орбиты Луны ( $P$ ) в ее движении относительно Солнца (O), мы можем положить $n=13n^{\prime },a^{\prime }=400a$ (приближенно). Очевидно, что радиус кривизны $\rho$ будет всегда положительным; орбита Луны действительно всегда обращена к Солицу своею вогнутостью.

Если мы предположим, что обозначения $n^{\prime },a^{\prime }$ относятся к движению Солнца ( $Q$ ) относительно Земли (O), а $n$, $a$ относятся к движению внутренней планеты $(P)$ относительно Солнца, то мы будем имет::
$$n^{\prime 2}{a}^{\prime }-n^{2}a=n^2{a}^3(\frac{1}{a^{\prime 2}}-\frac{1}{a^2}),$$

так как по третьему закону Кеплера $n^2{a}^3=n^{\prime 2}{a}^{\prime 3}$ (§ 80). Так как $a^{\prime }>a$, то это выражение имеет отрицттельный знак; н самом деле, орбита планеты в ее движении относительно Земли имеет петли и напоминает первый из двух типов эпициклических кривых, представленных на фиг. 21 (стр. 61). Случай внешней планеты также охватывается этими формулами, если мы предположим, что $P$ относиткя к планете, а $Q$-к Солнцу.