О бщи й характер влияния сопротивления на движение снаряда легко понять, если рассмотреть влияние ряда последовательных мгновенных касательных импульсов, каждый из которых уменьшает скорость. Так как нормальное ускорение $\frac{v^{2}}{\rho}$, равное составляющей ускорения от силы тяжести, перпендикулярной к траектории, не претерпевает мгновенного изменения, то уменьшение $v$ обусловливает увеличение кривизны. Следовательно, траектория непрерывно отклоняется внутрь параболы, которую снаряд продолжал бы описывать, если бы сопротивление перестало действовать; в пределе движение стремится к вертикальному с некоторою предельною скоростью.

Если мы обозначим через $2 l$ параметр „мгновенной параболы“, то на основании $\S 27$ получим:
\[
l=\frac{v^{2} \cos ^{2} \phi}{g} \text {, }
\]

где $\phi$ есть угол наклона траектории к горизонгу. Следовательно, в случае незначительного касательного импульса мы получим:
\[
\frac{\delta l}{l}=\frac{2 \delta v}{v} .
\]

Полагая $\delta v=-f t t$, где $f$ есть ускорение (замедление), сообщаемое средой, мы имеем:
\[
\frac{1}{l} \frac{d l}{d t}=-\frac{2 f}{v} \text {. }
\]

Например, если
\[
f=k v^{2},
\]

то
\[
\frac{1}{l} \frac{d l}{d t}=-2 k v=-2 k \frac{d s}{d t},
\]

откуда
\[
l=C e^{-2 k s},
\]

что указывает на постепенное уменьшение параметра параболы.

В частном случае, когда сопротивление пропорционально скорости, задачу можно решить до конца, применив уравнения в декартовых координатах, которые в этом случае независимы одно от другого. При обычном расположении осей (по горизонтали и вертикали) мы имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k \frac{d s}{d t} \cos \phi=-k \frac{d x}{d t}
\]

и
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-g-k \frac{d s}{d t} \sin \psi=-g-k \frac{d y}{d t}
\]

Из первого из этих уравнений имеем:
\[
\ln \frac{d x}{d t}=-k t+A, \quad \frac{d x}{d t}=C e^{-k t}, \quad x=D-\frac{C}{k} e^{-k t} .
\]

Если при $t=0$ будет $x=0, \frac{d x}{d t}=u_{0}$, то $C=u_{0}, \quad D=\frac{u_{0}}{k}$, откуда
\[
x=\frac{u_{0}}{k}\left(1-e^{-k t}\right) \text {, }
\]

как в § 92 (8).
Далее, представив уравнение (8) в виде:
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+k \frac{d y}{d t}=-g \text {, }
\]

мы видим, что его первый частный интеграл будет $\frac{d y}{d t}=-\frac{g}{k}$; следовательно, общий интеграл будет
\[
\frac{d y}{d t}=-\frac{g}{k}+C^{\prime} e^{-k t} .
\]

Интегрируя дальше, получим:
\[
y=-\frac{g t}{k}-\frac{C^{\prime}}{k} e^{-k t}+D^{\prime} .
\]

Еил при $t=0$ будет $y=0, \frac{d y}{d t}=v_{0}, \quad$ то $C^{\prime}=\frac{g}{k}+v_{0}, \quad D^{\prime}=\frac{C^{\prime}}{k}$. Следовательно,
\[
y=-\frac{g t}{k}+\left(\frac{v_{0}}{k}-\frac{g}{k^{2}}\right)\left(1-e^{-k t}\right) .
\]

Формула (10) показывает, что прямая линия
\[
x=\frac{u_{0}}{k}=\frac{u_{0} V}{g} .
\]

где $V$ есть предельная скорость, представляег асимптоту траектории.
Следует, однако, заметить, что это исследование имеет скорее характер примера, так как в случае движения снаряда, линеиный закон сопротивления далеко не соответствует действительности:

Гипотеза об изменении сопротивления пропорционально квадрату скорости с практической точки зрения заслуживает предпочтения, но этот случай не так легко поддаегся математическому исследованию. В этом случае уравнения движения будут иметь вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k v^{2} \cos \psi, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-g-k v^{2} \sin \phi .
\]

Так как $\frac{d x}{d t}=v \cos \phi$, то первое из уравнений можно представить в виде:
\[
\frac{\ddot{x}}{\dot{x}}=-k v=-k \dot{s},
\]

откуда
\[
\ln \dot{x}=-k s+\text { const., }
\]

или
\[
x=u_{0} e^{-k s} \text {, }
\]

если через $u_{0}$ обозначить горизонтальную скорость, соответствуюшую значению $s=0$. Легко видеть, что это равенство эквивалентно равенству (6).

Вместо того чтобы применить дальше второе из уравнений (6), удобнее взять проекцию на нормаль. При обычном условии относительно знака $\rho$ мы имеем:
\[
\frac{v^{2}}{\rho}=-g \cos \psi \text {. }
\]

Полагая
\[
\begin{array}{c}
v=\dot{x} \sec \psi=u_{0} e^{-k x} \sec \psi, \\
\left.\frac{1}{\rho}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cos ^{3} \psi^{1}\right),
\end{array}
\]

получим:
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{g}{u_{0}^{2}} e^{2 k t} .
\]

Если мы фиксируем наше внимание на том участке траектории, который проходит почти горизонтально, то мы можем заменить $s$ на $x$, причем разность будет второго порядка малости. Таким образом
\[
-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{g}{u_{0}^{2}} e^{2 k x} .
\]

Интегрируя, найдем:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d
u}{d x}=-\frac{g}{2 k u_{0}^{2}} e^{2 k x}+A, \\
y=-\frac{g}{4 k^{2} u_{0}^{2}} e^{2 k x}+A x+B .
\end{array}
\]
1) $\frac{1}{\rho}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right)^{\frac{3}{2}}}=y^{\prime \prime} \cos ^{2} \phi$. Прим. рев.

Если мы предположим, что при $x=0$ будет $y=0, \frac{d y}{d x}=\operatorname{tg} a$, где, конечно, предполагается, что угол $\alpha$ мал, то
\[
A=\frac{g}{2 k u_{0}^{2}}+\operatorname{tg} a, \quad B=\frac{g}{4 k^{2} u_{0}^{2}},
\]

и уравнение для почти горизонтальной траектории будет:
\[
y=x\left(\operatorname{tg} \alpha+\frac{g}{2 k u_{0}^{2}}\right)+\frac{g}{4 k^{2} u_{0}^{2}}\left(1-e^{2 k x}\right) .
\]

Нами уже было замечено (§97), что $k=\frac{1}{a}$ представляет расстояние, на котором точка, подверженная действию только сопротивления, уменьшила бы свою скоростк в отношении $\frac{1}{e}$. Если величина $x$ в сравнении с этим расстоянием мала, то, разлагая показательную функцию в (26) в ряд, мы найдем:
\[
y=x \operatorname{tg} \alpha-\frac{g}{2 u^{2}} x^{2}-\frac{g k}{3 u_{0}^{2}} x^{3}-\ldots
\]

Первые два члена этого ряда дают параболическую орбиту, которую точка описывала бы при отсутствии сопротивления.