Во всех случаях движения по гладкой кривой в вертикальнай плоскрсти под денствием силы тяжести мы в проекции на направление касательной имеем:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}=-g \sin \psi_{2}
\]

где $\$$ обозначает угол наклона кривой к горизонтали, а $s$ представляет дугу, отсчитываемую от положения равновесия, в котором $\phi=0$.
Для небольших углов наклона мы можем положить:
\[
\sin \psi=\psi=\frac{s}{\rho_{0}},
\]

где $\rho_{0}$ – радиус кривизны в положении равновесия, считаемый положительным, если кривая обращена своею вогнутостью вверх. Следовательно, при малых колебаниях мы имее: :
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}=-\frac{g}{\rho_{0}} s,
\]
т. е. такое же уравнение, как для маятника длины $\rho_{0}$.

Если в (1) sin будет в точности пропорционален дуге, так что, например, будет:
\[
s=k \sin \phi,
\]

то мы получим:
\[
\frac{d^{2} s}{d t^{2}}+\frac{g}{k} s=0 .
\]

Следовательно, изменение $s$ будет происходить в точности по закону простого гармонического колебания, а период, именно
\[
2 \pi \sqrt{\frac{k}{g}}
\]

будет одинакивым для всех амплитуд, больших и малых. В этом случае колебания называются \”изохронными“.

Чтобы узнать характер кривой, которой соответствует уравнение (4), проведем оси $x$ и $y$ соответственно в горизонтальном и вертикальном направлениях, причем положительное направление оси $y$ возьмем вверх. Тогда
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \psi}=\frac{d x}{d s} \frac{d s}{d \psi}=k \cos ^{2} \psi=\frac{1}{2} k(1+\cos 2 \psi), \\
\frac{d y}{d \psi}=\frac{d y}{d s} \frac{d s}{d \phi}=k \sin \psi \cos \psi=\frac{1}{2} k \sin 2 \psi .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, интегрируя по $\phi$, получим:
\[
x=\frac{1}{4} k(2 \psi+\sin 2 \psi), \quad y=\frac{1}{4} k(1-\cos 2 \psi),
\]

где постоянные интегрирования выбраны в соответствии с начальными условиями: $x=0, y=0$ при $\Varangle=0$. Мы видим, что эти уравнения совпадают с обычными уравнениями циклоиды, а именно ${ }^{1}$ ):
\[
x=a(\theta+\sin \theta), y=a(1-\cos \theta) .
\]
1) Свойство изохронности циклоиды было открыто Христианом Гюйгенсом (1629-1695), изобретателем часов с маятником. Его работы по динамике помещены в одной из глав Horologium Oscillatorium, Paris 1673.

где $a$-радиус катящегося круга, а $\theta$ – угол, на который круг повернулся из начального положения.

Известно, что эволюто циклоиды является такая же циклоида, точки возврата которой соответствуют вершинам первой циклоиды, и обратно. Таким ‘образом груз маятника будет двигаться точно по циклоиде, если его подвесить при помощи нити, имеющей надлежащую длину и попеременно сматывающейся с двух циклоидальных дуг, как показано на чертеже. Для колебаний с небольшой амплитудой эти дуги можно провести по обе стороны от точки возврата на небольшое расстояние. Такое устройство было предложено Гюйгенсом как средство для обеспечения правильности хода часов несмотря на изменения амплитуды колебаний. Последующие изобретатели пошлн по другому пути и направили свои усилия на обеспечение постоянства амплитуды путем тщательного регулирования силы, приводящей часовой механизм в движение, назначение которой заключается в возмещении потери энергии из-за сопротивления трения и других видов сопротивления.