Для выполнения вычиелений необходимо примменить какую-либо систему координат. Рассматривая (для простоты) случай движения в двух измерениях и пользуясь декартовыми координатами (прямоугольными или косоугольными), обозначим через $u, v$ проекции скорости в момент времени $t$, а через $X$ и $Y$ – проекции силы. Следовательно, проекции количества движения будут $m u, m v$, а проекции изменения количества движения за время $\delta t$ будут $\delta(m u), \delta(m v)$. Проекции импульса силы будут $X \delta t, Y \partial$. Так как параллельные проекции равных векторов равны, то мы должны иметь:
\[
\delta(m u)=X d t, \quad \delta(m v)=Y d t,
\]

или
\[
m \frac{d u}{d t}=X, \quad m \frac{d v}{d t}=Y .
\]
1). Mutalionem motus proportionalem esse vi motrici impresse, et fieri secundum lineam rectam, qua vis illa imprimitur:- – Изменение количества хзижения пропорционально приложеиной движушей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Так как
\[
u=\frac{d x}{a t}, \quad v=\frac{d y}{a t},
\]

то предыдущие уравнения можно представить в виде:
\[
m \frac{d^{2} x}{a t^{2}}=X, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y .
\]

Интегралы этих уравнений булут заключать в себе четыре произвольных постоянных, которые можно подобрать так, чтобы удовлетьорялись заданные начальные условия, относящиеся к значенням
\[
x, y, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t} .
\]

Обобщение на случзй пространства трех измегений, когда решенич будет заключать в себе шесть произвольных постоянных, очевидно.

Пример. Материальная точка сксльзит по линии наибольшего ската на плоскости, имеющей угол наклона $\alpha$, под действием силы тяжести и реакции плоскости.

Если мы проведем ось $x$ вдоль линии наибольшего ската вверх; а ось $y$ перпендикульрно к плоскости, то получим:
\[
X=-m g \sin \alpha-F, \quad Y=-m g \cos \alpha+R,
\]

где $F$ и $R$ представляют касательную и нормальную составляющие реакции. Так как, по предлоложению, должно быть $y=0$, то мы имеем:
\[
R=m g \cos \alpha,
\]
n
\[
m \frac{d x}{d t}=-m g \sin \alpha-F \text {. }
\]

Если плоскость гладкая (без трения), то $F=0$, и ускорение будет равно $-g \operatorname{cin} \alpha$. Если плоскость шероховатая, то согласно элементарнсму закону трения судст $F=\mu R$, и ускорение мижно будет представить в виде:
\[
g(\sin \alpha+\mu \cos \alpha)=g \frac{\sin (\alpha+i)}{\cos \lambda},
\]

где $\lambda$ обозначает угол трения.