Для выполнения вычиелений необходимо примменить какую-либо систему координат. Рассматривая (для простоты) случай движения в двух измерениях и пользуясь декартовыми координатами (прямоугольными или косоугольными), обозначим через $u,v$ проекции скорости в момент времени $t$, а через $X$ и $Y$ — проекции силы. Следовательно, проекции количества движения будут $mu,mv$, а проекции изменения количества движения за время $\delta t$ будут $\delta (mu),\delta (mv)$. Проекции импульса силы будут $X\delta t,Y\partial$. Так как параллельные проекции равных векторов равны, то мы должны иметь:
$$\delta (mu)=Xdt,\delta (mv)=Ydt,$$

или
$$m\frac{du}{dt}=X,m\frac{dv}{dt}=Y.$$
1). Mutalionem motus proportionalem esse vi motrici impresse, et fieri secundum lineam rectam, qua vis illa imprimitur:- — Изменение количества хзижения пропорционально приложеиной движушей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Так как
$$u=\frac{dx}{at},v=\frac{dy}{at},$$

то предыдущие уравнения можно представить в виде:
$$m\frac{d^{2}x}{a{t}^2}=X,m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Y.$$

Интегралы этих уравнений булут заключать в себе четыре произвольных постоянных, которые можно подобрать так, чтобы удовлетьорялись заданные начальные условия, относящиеся к значенням
$$x,y,\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}.$$

Обобщение на случзй пространства трех измегений, когда решенич будет заключать в себе шесть произвольных постоянных, очевидно.

Пример. Материальная точка сксльзит по линии наибольшего ската на плоскости, имеющей угол наклона $\alpha$, под действием силы тяжести и реакции плоскости.

Если мы проведем ось $x$ вдоль линии наибольшего ската вверх; а ось $y$ перпендикульрно к плоскости, то получим:
$$X=-mg\sin \alpha -F,Y=-mg\cos \alpha +R,$$

где $F$ и $R$ представляют касательную и нормальную составляющие реакции. Так как, по предлоложению, должно быть $y=0$, то мы имеем:
$$R=mg\cos \alpha ,$$
n
$$m\frac{dx}{dt}=-mg\sin \alpha -F\text{. }$$

Если плоскость гладкая (без трения), то $F=0$, и ускорение будет равно $-g\mathrm{cin}\alpha$. Если плоскость шероховатая, то согласно элементарнсму закону трения судст $F=\mu R$, и ускорение мижно будет представить в виде:
$$g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )=g\frac{\sin (\alpha +i)}{\cos \lambda },$$

где $\lambda$ обозначает угол трения.