Вообще говоря, тело, вращающееся около неподвйжной оси, создает известное давление на эту ось. Предположим сперва, что внешние силы, за исключением реакций оси, которые равны и противоположны рассматриваемым давлениям, на тело не действуют. Мы уже видели, что если силами трения пренебречь, то угловая скорость $\omega$ будет пострянна.

Вместо того чтобы вычислять скорость изменения (производную по времени) момента количеств движения относительно неподвижной оси, в данном случае несколько проще обратиться к принципу Даламбера, согласно которому реакции связей уравновешиваются с силами, противоположными эффективным силам, т. е. находятся в равновесии с „силами инерции “. Так как $\omega$ есть постоянная величина, то силою, противоположною эффективной силе, действующей на точку $m$, находящуюся на расстоянии $r$ от оси, будет „центробежная сила “, направленная наружу. Если мы проведем прямоугольные оси кординат так, чтобы ось $O z$ совпадала с осью вращения, то три составляющих этой центробежной силы будут:
\[
m \omega^{2} x, \quad m \omega^{2} y, \quad 0,
\]

где $x, y, z$ представляют координаты точки $m$. Следовательно, моменты этих сил относительно координатных осей будут соответственно равны:
\[
\text { — } m \omega^{2} y z, \quad m \omega^{2} x z, \quad 0 .
\]

Таким образом рассматриваемые силы давления на ось должны иметь составляющие

или
\[
\begin{array}{cc}
\omega^{2} \sum(m x), & \omega^{2} \Sigma(m y), \quad 0, \\
\boldsymbol{\omega}^{2} \cdot M x_{0}, & \omega^{2} \cdot M y_{0}, \quad 0,
\end{array}
\]

где $M$ обозначает всю массу тела, а координаты $x_{0}, y_{0}$ относятся к центру масс. Далее, моменты этих сил давления на ось вращения относительно осей $O x, O y, O z$ должны выражаться формулами:
\[
-\omega^{2} \boldsymbol{\Sigma}(m y z), \quad \omega^{2} \Sigma(m x z), \quad 0 .
\]

Если мы представим себе, что оси $x$ и $y$ вращаются вместе с телом, то коэфициенты при $\omega^{2}$ в этих выражениях будут постоянны и будут зависеть только от распределения масс тела.

Отсюда слелует, что если тело, могущее вращаться свободно около неподвижной точки $O$, мы заставим вращаться около произвольной оси $O z$, проходящей через точку $O$, то тело не будет вращаться с постоянною угловою скоростью, если только выражения (4) не обратятся в нуль. Для поддержания такого вращения требуется, чтобы моменты реакций опоры были равны и противоположны моментам, выражаемым формулами (4). Следовательно, для того чтобы тело могло вращаться около оси $O z$ ‘без действия внешних сил, мы должны иметь:
\[
\Sigma(m y z)=0, \quad \Sigma(m x z)=0 .
\]

В этом случае рассматриваемая ось называется ${ }_{n}$ свободной осью вращения\», или ,главной осью инерции\» для точки $O$. Именно в связи с этим и была пострлена теория главных осей инерции $\left.{ }^{3}\right)$.
Е:ли условия (5) выполнены, то проекции силы давления на неподвижную тонку $O$ выражьются формулами (3). Так как \»произведения инерции“ $\Sigma(m y x), \Sigma(m z x)$ измеряют стремление $\Phi_{и}: 48$. осей вращения отклоняться от первоначального направления, то их иногда называют „девиационными моментами\» (центробежные моменты).

Возвращаясь к случаю вращения около неподвижной оси $O Z$, предположим, что требуемые связи осуществляются посредством двух гладких пгдшлпников, в соответствии с чем мы имеем две силы $\left(P_{1}, Q, 0\right)$ и $\left(P_{2}, Q_{2}, 0\right)$. Далее предположим, что ось $x$ выбрана так, чтобы она пр хлдил через центр масс $G$ (фиг. 48 . Если расстояния обоих подшипников от $O$ будут $a_{1}, a_{2}$ (в противоположных направлениях), то мы имеем;
\[
\begin{array}{c}
\left.P_{1}+P_{2}=-\omega^{2} \cdot M x_{0}, \quad Q_{1}+Q_{2}=0^{2}\right), \\
-Q_{1} a_{1}+Q_{2} a_{2}=\omega^{2} \cdot \Sigma(m y z), \quad P_{1} a_{1}-P_{2} a_{2}=-\omega^{2} \cdot \Sigma(m x z) .
\end{array}
\]

Из этих формул можно найти $P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}$. Так как направления эгих сил связаны с положением тела, то в общем случае мы имеем периодические напряжения в подшипниках. Если период $\frac{2 \pi}{\omega}$ совпадает приближенно с собственным периодом упругих колебаний станины, то согласно теории, изложенной в § 13 , мо ут получиться сильные вибрации. Эти сообр жения имеют боть’юе значение в связи с пбалансированием * современных быстроходных мащин. Существенно, чтобы не только центр
1) Сегиером (J. A. Segner, 1755).
2) Так как $G$ лежит на оси $x$, то $y_{0}=0$; оси $x$ и $y$ вращаются вместе с телом. Прим. рел.

масс находился на оси врацения, но чтобы она была также главною осью. При этих условиях мы имеем из (6) и (7):
\[
P_{1}, P_{2}, Q_{i}, Q_{2}=0 .
\]

Пример. Однородная прямоугольная пластинка диагонали $A B$, поддерживаемая двумя гладкими псдшипниками в точках $A$ и $B$ (фиг. 49),

Очевидно, что реакции $P$, создаваемые этими подшипниками, будут межлу собой равны и противоположны и будут расположены в нлоскости прямоугольника, Мож:о показать, что пластинка экьивалентна (\»Статика“, §78) четьрем мат риальным точкам, каждая с массою $\frac{1}{6} M$, ра.положенным на серединах сторон, и точке с массою $\frac{1}{3} M$, расголоженной в точке $O$, делящей прямую $A B$ пополам: здесь $M$ обозначеет всю массу плістинки. Следювательно, взяв $A C B C^{\prime}$ вращается около моменты относите\»ьно точки $O$ и обсзначив через $N$ ортогональную проекцию $C$ на $A B$, мы получим:
\[
P \cdot A B=2 \cdot \frac{1}{6} M_{\omega 2}^{2} \cdot \frac{1}{2} C N \cdot O N .
\]

Ho
\[
O N=\frac{A C^{2}-C B^{2}}{2 A B}, \quad C N=\frac{A C \cdot C B}{A B} .
\]

Следовательно, полагая $A C=a, B C=b$, мы находим:
\[
P=\frac{1}{12} M \omega^{2} \cdot \frac{a b\left(a^{2}-b^{2}\right)}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} .
\]

Это выражение обращается в нуль, как это и должно. быть, если $a=b$.