Хотя небольшие колебания груза маятника и не будут строго прямолинейными, но, забегая несколько вперед и пользуясь принципами, которые мы сформулируем позже, мы можем к этим колебаниям применить рассмагриваемую теорию.

Предположим, что точка с массою $m$, подвешенная к неподвижной точке $O$ при помощи легкой нити или стержня, совершает в вертикальной плоскости небольшие колебания около своего положения равновесия. Мы примем, что угол $\theta$ отклонения нити от вертикали во все время движения не будет превосходить пяти градусов, так что перемещение точки в вертикальном направлении, именно $l(1-\cos \theta)$ или $2 l \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta$ представляет малую величину второго порядка, и им, следовательно, можно пренебречь. Поэтому вертикальную составляющую $(P \cos \theta$ ) натяжения $P$ нити можно приравнять весу $m g$ точки, так что с той же степенью приближения мы имеем:
\[
P=m g .
\]

Следовательно, если $x$ обозначает перемещение точки в горизонтальном направлении (фиг. 7), то мы будем иметь:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-P \sin \theta=-m g \frac{x}{l},
\]

или
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-n^{2} x
\]

полагая
\[
n^{2}=\frac{h}{l} .
\]

Следовательно, движение в. горизонтальном направлении буде простым гармоническим колебанием, и период его будет равен
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\tau}{g}} .
\]

Так как эта формула выведена в предположении, что ди- Фиг. 7. ференциальное уравнение имеет вид (3), то нужно помнить, что для применимости простого гармонического решения в каждом отдельном случае начальные условия должны быть совместимы с принятым приближением. Таким образом, если начальное перемещение будет $x_{0}$, а начальная скорость $u_{0}$, то, как в § 5 , примере 3 , в качестве приближенного решения мы будем иметь:
\[
x=x_{0} \cos n t+\frac{u_{0}}{n} \sin n t .
\]

Следовательно, оба отношения $\frac{x_{0}}{l}$ и $\frac{u_{0}}{n l}$ должны быть малыми: Последнее условие на основании (4) трјебует, чтобы было малым и отношение $\frac{u_{0}}{\sqrt{g l}}$, т. е. начальная скорость была мала в рравнении с той, которую точка приобрела бы при свободном падении с высоты, равной половине длины маятника.
Точная теория математического маятника будет изложена в § 37 .
Конечно, идеальный математический маятник, состоящий из массы, сосредоточенной в одной точке, и из нити, лишенной веса, осуществить нельзя, но при помощи металлического шарика, подвешенного на тонкой нити, можно получить хорошее приближение для определения $g$, пользуясь формулою:
\[
g=\frac{4 \pi^{r} l}{T^{2}} .
\]

Наиболее-точный метод определения $g$ будет изложен ниже.
Теория маятника дает наиболее точное средство для проверки постоянства ускорения, обусловленного силой тяжести, в данном месте для всех тел и, следовательно, пропорциональности веса тела его массе. Если, не делая каких-либо предположений по этому вопросу, мы обозначим вес материальной точки через $G$, то уравнение (2) заменится уравнением:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-G \frac{x}{l}
\]

и, следовательно, период малых колебаний будет:
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\overline{m l}}{G}} .
\]

Из экспериментального факта, зәмеченного Ньютоном и затем большое число раз подтвержденного более точными средствами, что для маятников одной и той же длины период не зависит от массы или материала груза, следует, что отношение $\frac{G}{m}$ имеет одну и ту же величину для всех тел.