За шестьдесят лет до опубликования Ньютоном закона тяготения Кеплер ${}^2$ ) опубликовал свои три знаменитые закона движения планет. Эти законы были выведены не из какихлибо теорий, а были открыты как результат изучения совокупности наблюдений.

Мы изложим эти законы по порядку с краткими указаниями на обоснование их.
I. Планеты описывают около Солнца, как около фокуса, эллипсы. форму орбиты можно легко проверить в случае Земли, так как на изменение расстояния ее от Солнца указывает изменение видимого диаметра Солнца. Так как полярное уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу, имеет вид:
$$\frac{\iota }{r}=1+e\cos \theta ,$$

то видимий диаметр $D$ Солнца, изменяющийся обратно пропорционально расстоянию $r$, согласно этому закону должен изменяться пропорционально $1+e\cos \theta$, где $\theta$ есть долгота на орбите, измеряемая от перигелия. Обратно, если найдено, что имеет место зависимость такого вида, то орбита должна быть коническим сечением с Солнцем в одном из фокусов.
1) Этот способ представления лунного движения был придуман Гиппархом (120 r. до ні. 9.). Рассматриваемая орбита называется в этом случае эксцентриком\»:
2) Иоганес Кеплер (1571-1630). Первые два закона быля опубликованы в 1609 г., третий в 1619 r.

Нетрудно определить и эксцентриситет $e$. Если $D_1,D_2$ суть наибольшее и наименьшее значения видимого диаметра, соответствующие значениям $A=0,\theta =\pi$, то мы имеем:
$$\frac{D_1}{D_2}=\frac{1+e}{1-e},\text{ или }e=\frac{D_1-D_2}{D_1+D_2}.$$

Полагая $D_1={32}^{\prime }{36}^{\prime \prime },D_2={31}^{\prime }{22}^{\prime \prime }$, мы найдем $e=\frac{1}{60}$.
Тот же закон был подтвержден и в случае Марса. Подтверждение закона в этом случае требует более сложных вычислений, но большая величина эксцентриситета $(0,093)$ орбиты Марса упрощает проверку.
II. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, описывает равные площади в равные промежутки времени.

Этот закон проще всего подтверждается опять в случае Земли. Если $\delta \theta$ есть изменение долготы за данное короткое время, например за сутки, то произведение $r^2\delta \theta$ должно иметь одинаковое значение во все времена года; следовательно, $\hat{\theta }\theta$ изменяется пропорционально $D^2$. Было найдено, что так и обстоит дело в действительности.
III. Қвадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам соатветствующих средних расстояний от Солнца.

Периоды обращения планет вокруг Солнца легко найти с большою степенью точности из наблюдений. Точно также можно определить и относительные расстояния. Следующая таблица, составленная Ньютоном ${}^1$ ),

дает периоды обращения планет вокруг Солнца, известные в то время, и средние расстояния от Солнца, найденные соответственно Кеплером и Буллиалдусом ${}^2$ ), причем среднее расстояние Земли от Солнца принято за единицу. Последний столбец таблицы дает средние расстояния, вычисленные на основании закона Кеплера.

Подобное сравнение между периодами спутников Юпитера и Сатурна и их расстояниями от этих планет дано также Ньютоном.
1) „Principia“, lib. III, phaenomenon IV. (Имеется русский перевод.)
2) Латинизированное имя Изманла Буйо (Ismael Boulliau, 1605-1694), французского астронома, который вел обширную корреспонденцию с учеными своего времени.

В настоящее время, когда зәкон тяготения полностью установлен, обычно вычисляют относительные средние расстояния по относительным периодам, основываясь на исправленном законе Кеплера, о котором будет сказано в § 81. В случае планет Меркурия, Венеры и Марса, массы которых в сравнении с массою Солнца очень малы, поправка очень незначительна, и вычисленные значения последнего столбца почти в точности совпадают с принимаемыми теперь астрономами.

Мы видели, что законы Кеплера вытекают как простое следствие из ньютоновского закона тяготения, если только пренебречь взаимным влиянием разных планет друг на друга и ускорениями, сообщаемыми планетами центральному светилу.

Обратно, можно показать, что никакие другие гипотезы относительно тяготения несовместимы с законами Кеплера, рассматриваемыми как точно описывающие явления при указанных выше условиях.

Так, постоянство секториальной скорости равносильно тому, что момент количества движения планеты относительно Солнца является постоянным и что, следовательно, сила, действующая на планету, всегда направлена к Солнцу.

Из того, что орбиты имеют эллиптическую форму с Солнцем в фокусе, вытекает обратная пропорциональность силы квадрату радиуса-век-тора на разных участках одной и той же орбиты. Аналитическое доказательство этого прелложения дано в § 85; но можно заметить, что этот результат вытекает и из того, чта если точка описывает эллипс около центра сил, совпадэющего с фокусом, то годограф представляет вспомогательный круг, повернутый на прямой угол, причем рассматриваемый фокус является полюсом годографа (§ 78 ). Так как прямая $CZ$, соединяющая центр с точкой $Z$ на фиг. 74 , стр. 203 , пара лельна $SP$, то, следовательно, скорость точки $Z$ равна $\frac{ad\theta }{dt}$, или $\frac{hz}{r^2}$, если принять обычные обозначения. Так как эта скорость представляет ускорение точки $P$ (повернутое на прямой угол) в таком же масштабе, в каком $SZ$ представляет скорость
$$\frac{h}{b^2}\cdot SZ,$$

то ускорение будет иметь величину
$$\frac{h^2}{l}\cdot \frac{1}{r^2}$$

и будет направлено к $S$ [см. § $76,(7)]$.
Наконец, формула
$$T=\frac{2\pi a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\mu }},$$

полученная в $\mathrm{\S }76$, показывает, что если $T^2$ изменяется пропорционально $a^3$, то величина $\mu$, обозначающая ускорение на расстоянни, равном 14 Л а и
единице, цолжна быть одинаковой для всех планет. Это показывает, что силы, действующие на разнье планеты, должны изменяться пропорционально соответствующим массам.