Если, слегка изменив предыдущие обозначения, мы обозначим теперь через $\theta, \Phi$ внешние силы, действующие на консервативную систему, то уравнения Лагранжа будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta}+\theta, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi}+\Phi .
\end{array}\right\}
\]

В случае малых колебаний около положения равновесия эти уравнения преобразуются в следующие:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \ddot{\theta}+H \ddot{\varphi}+a \theta+h \varphi=\theta, \\
H \ddot{\theta}+B \ddot{\varphi}+h \theta+b \varphi=\Phi .
\end{array}\right\}
\]

Как и в § 13 и 67 , наиболее важным случаем будет тот, когда возмущающие силы $\theta$ и $\Phi$ имеют периодический характер. Предполагая, что $\theta$ и $\Phi$ изменяются, как $\cos p t$, мы найдем, что уравнения (2) будут удовлетворяться при изменении $\theta, \varphi$ пропорционально $\cos p t$ и при условиях:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(p^{2} A-a\right)^{\theta}+\left(p^{2} H-h\right) \varphi=-\theta, \\
\left(p^{2} H-h\right) \theta+\left(p^{2} B-b\right) \varphi=-\Phi .
\end{array}\right\}
\]

Из этих равенств мы определим $\theta, \varphi$, выразив их через $\theta, \Phi$; мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\theta=\frac{\left(p^{2} H-h\right) \Phi-\left(p^{2} B-b\right) \theta}{\Delta\left(p^{2}\right)}, \\
\varphi=\frac{\left(p^{2} H-h\right) \theta-\left(p^{2} A-a\right) \Phi}{\Delta\left(p^{2}\right)},
\end{array}\right\} \\
\Delta\left(p^{2}\right)=\left|\begin{array}{ll}
p^{2} A-a, & p^{2} H-h \\
p^{2} H-h, & p^{2} B-b
\end{array}\right| . \\
\end{array}
\]

где
\[
\Delta\left(p^{2}\right)=\left|\begin{array}{ll}
p^{2} A-a, & p^{2} H-h \\
p^{2} H-h, & p^{2} B-b
\end{array}\right| .
\]

Так как по предположению $\theta$ и $\varphi$ изменяются, как $\cos p t$, то движение каждой точки системы будет периодическим с периодом, равным периоду $\frac{2 \pi}{p}$ возмущающих сил; кроме того, все точки будут находиться в одинаковой фазе. Но как относительные, так и абсолютные амплитуды разных точек будут зависеть от периода. В частности, амплитуды будут очень большими, когда $p^{2}$ приближается к корням уравнения
\[
\Delta\left(p^{2}\right)=0,
\]
т. е. когда период вынужденных колебаний почти совпадает с одним из периодов свободных колебаний, определяемых посредством уравнения (8) § 109. Чтобы получить в таких случаях, а также в случае полного совпадения периодов, более практические результаты, мы должны были бы учесть диссипативные силы, как в § 95.

На вынужденные колебания, найденные выше, мы можем наложить свободные колебания, рассмотренные в $\S 109$, с произвольными амплитудами и фазами.

Может иметь место и другой важный случай вынужденных колебаний, при котором одной из координат сообщается требуемое изменение во времени при помощи надлежащей силы того же типа, в то время как внешних сил другого типа нет. Таким образом мы можем иметь уравнения:
\[
\begin{array}{l}
A \ddot{\theta}+H \ddot{\varphi}+a \theta+h \varphi=0, \\
H \ddot{\theta}+B \ddot{\varphi}+h \theta+b \varphi=\Phi,
\end{array}
\]

где $\varphi$ представляет заданную функцию от $t$, а второе уравнение служит лишь для определения силы $\Phi$, необходимой для поддержания заданного изменения $\varphi$ во времени. Соответствующий пример представляют вынужденные колебания физического маятника или сейсмографа (§ 67), производимые заданным движением оси.
Таким образом, если
\[
\varphi \text { пропорционально } \cos p t \text {, }
\]

то, предположив, что $\theta$ также изменяется, как $\cos p t$, мы имеем:
\[
\left(p^{2} A-a\right) \theta+\left(p^{2} H-h\right) \varphi=0,
\]

или
\[
\theta=-\frac{p^{2} H-h}{p^{2} A-a} \varphi ;
\]

из этих формул мы получаем вынужденные колебания для координаты $\theta$. Следует заметить, чго коэфициент инерции $B$ не входит во все эти формулы.

Пример. Пусть в обозначает боковое смещение из среднего положения оси сейсмографа ( $\$ 67$ ). Скорость центра масс с достаточным приближением выражается формулою $\dot{\xi}+h \dot{\theta}$, где $\theta$ представляет координатный угол; следовательно, искомое выражение для кинетической энергии будет иметь вид:
\[
2 T=M\left(h^{2}+x^{2}\right) \dot{\theta}^{2}+2 M h \dot{\theta} \dot{\xi}+M \dot{\xi} 2 .
\]

Формула для потенциальной энергии имеет вид:
\[
U=\frac{1}{2} K^{02},
\]

где $K$ представляет некоторое постоянное. Следовательно, уравнение, соответствующее уравнению (7), будет:
\[
M\left(h^{2}+x^{2}\right) \ddot{\theta}+M \dot{h}+K \theta=0,
\]

или
\[
\ddot{\theta}+n^{2 \theta}=-\frac{\ddot{\xi}}{l} \text {, }
\]

если
\[
n^{2}=\frac{K}{M\left(h^{2}+\varkappa^{2}\right)}, \quad l=\frac{x^{2}}{h}+h .
\]

В случае горизонтального маятника (§ 67) мы имеем:
\[
K=M g h \sin \beta, \quad n^{2}=\frac{g \sin \beta}{l} \text {. }
\]