Если, слегка изменив предыдущие обозначения, мы обозначим теперь через $\theta ,\mathrm{\Phi }$ внешние силы, действующие на консервативную систему, то уравнения Лагранжа будут:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial T}{\partial \theta }=-\frac{\partial U}{\partial \theta }+\theta ,\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}-\frac{\partial T}{\partial \phi }=-\frac{\partial U}{\partial \phi }+\mathrm{\Phi }.\end{array}\}$$

В случае малых колебаний около положения равновесия эти уравнения преобразуются в следующие:
$$\begin{array}{l}A\ddot{\theta }+H\ddot{\phi }+a\theta +h\phi =\theta ,\\ H\ddot{\theta }+B\ddot{\phi }+h\theta +b\phi =\mathrm{\Phi }.\end{array}\}$$

Как и в § 13 и 67 , наиболее важным случаем будет тот, когда возмущающие силы $\theta$ и $\mathrm{\Phi }$ имеют периодический характер. Предполагая, что $\theta$ и $\mathrm{\Phi }$ изменяются, как $\cos pt$, мы найдем, что уравнения (2) будут удовлетворяться при изменении $\theta ,\phi$ пропорционально $\cos pt$ и при условиях:
$$\begin{array}{l}{(p^{2}A-a)}^{\theta }+(p^{2}H-h)\phi =-\theta ,\\ (p^{2}H-h)\theta +(p^{2}B-b)\phi =-\mathrm{\Phi }.\end{array}\}$$

Из этих равенств мы определим $\theta ,\phi$, выразив их через $\theta ,\mathrm{\Phi }$; мы получим
$$\begin{array}{l}\begin{array}{c}\theta =\frac{(p^{2}H-h)\mathrm{\Phi }-(p^{2}B-b)\theta }{\mathrm{\Delta }\left(p^2\right)},\\ \phi =\frac{(p^{2}H-h)\theta -(p^{2}A-a)\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }\left(p^2\right)},\end{array}\}\\ \mathrm{\Delta }\left(p^2\right)=\left|\begin{array}{ll}{p}^{2}A-a,& p^{2}H-h\\ p^{2}H-h,& p^{2}B-b\end{array}\right|.\end{array}$$

где
$$\mathrm{\Delta }\left(p^2\right)=\left|\begin{array}{ll}{p}^{2}A-a,& p^{2}H-h\\ p^{2}H-h,& p^{2}B-b\end{array}\right|.$$

Так как по предположению $\theta$ и $\phi$ изменяются, как $\cos pt$, то движение каждой точки системы будет периодическим с периодом, равным периоду $\frac{2\pi }{p}$ возмущающих сил; кроме того, все точки будут находиться в одинаковой фазе. Но как относительные, так и абсолютные амплитуды разных точек будут зависеть от периода. В частности, амплитуды будут очень большими, когда $p^2$ приближается к корням уравнения
$$\mathrm{\Delta }\left(p^2\right)=0,$$
т. е. когда период вынужденных колебаний почти совпадает с одним из периодов свободных колебаний, определяемых посредством уравнения (8) § 109. Чтобы получить в таких случаях, а также в случае полного совпадения периодов, более практические результаты, мы должны были бы учесть диссипативные силы, как в § 95.

На вынужденные колебания, найденные выше, мы можем наложить свободные колебания, рассмотренные в $\mathrm{\S }109$, с произвольными амплитудами и фазами.

Может иметь место и другой важный случай вынужденных колебаний, при котором одной из координат сообщается требуемое изменение во времени при помощи надлежащей силы того же типа, в то время как внешних сил другого типа нет. Таким образом мы можем иметь уравнения:
$$\begin{array}{l}A\ddot{\theta }+H\ddot{\phi }+a\theta +h\phi =0,\\ H\ddot{\theta }+B\ddot{\phi }+h\theta +b\phi =\mathrm{\Phi },\end{array}$$

где $\phi$ представляет заданную функцию от $t$, а второе уравнение служит лишь для определения силы $\mathrm{\Phi }$, необходимой для поддержания заданного изменения $\phi$ во времени. Соответствующий пример представляют вынужденные колебания физического маятника или сейсмографа (§ 67), производимые заданным движением оси.
Таким образом, если
$$\phi \text{ пропорционально }\cos pt\text{, }$$

то, предположив, что $\theta$ также изменяется, как $\cos pt$, мы имеем:
$$(p^{2}A-a)\theta +(p^{2}H-h)\phi =0,$$

или
$$\theta =-\frac{p^{2}H-h}{p^{2}A-a}\phi ;$$

из этих формул мы получаем вынужденные колебания для координаты $\theta$. Следует заметить, чго коэфициент инерции $B$ не входит во все эти формулы.

Пример. Пусть в обозначает боковое смещение из среднего положения оси сейсмографа ( $\mathrm{\$}67$ ). Скорость центра масс с достаточным приближением выражается формулою $\dot{\xi }+h\dot{\theta }$, где $\theta$ представляет координатный угол; следовательно, искомое выражение для кинетической энергии будет иметь вид:
$$2T=M(h^2+x^2){\dot{\theta }}^2+2Mh\dot{\theta }\dot{\xi }+M\dot{\xi }2.$$

Формула для потенциальной энергии имеет вид:
$$U=\frac{1}{2}{K}^{02},$$

где $K$ представляет некоторое постоянное. Следовательно, уравнение, соответствующее уравнению (7), будет:
$$M(h^2+x^2)\ddot{\theta }+M\dot{h}+K\theta =0,$$

или
$$\ddot{\theta }+n^{2\theta }=-\frac{\ddot{\xi }}{l}\text{, }$$

если
$$n^2=\frac{K}{M(h^2+{\varkappa }^2)},l=\frac{x^2}{h}+h.$$

В случае горизонтального маятника (§ 67) мы имеем:
$$K=Mgh\sin \beta ,n^2=\frac{g\sin \beta }{l}\text{. }$$