Рассмотрим случай притяжения материальной точки к неподвижной точке, нахозящейся на линии движения, с силою, пропорциональною расстоянию от этой неподвижной точки; этот случай важен как типичный для самого общего случая динамической системы с одною степенью свободы, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия.

Если $K$ обозначает силу, действующую на расстоянии, равном единице, то сила, действующая на расстоянии $x$, будет $-K x$, так как знак силы всегда противоположен знаку $\boldsymbol{x}$. Следовательно, диференциальное уравнение будет:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-K x .
\]

Если положить
\[
n^{2}=\frac{K}{m},
\]

то решением, как показано в $\S 5$, пример 3 , будет:
\[
\boldsymbol{x}=A \cos n t+B \sin n t,
\]

или
\[
x=a \cos (n t+\varepsilon),
\]

где $A, B$ или $a, \varepsilon$ – произвольные постоянные. Следовательно, движение будет периодическим, причем значения $x$ и $\frac{d x}{d t}$ повторяются всякий раз, когда $n t$ увеличивается на $2 \pi$. Поэтому интервал времени
\[
T=\frac{2 \pi}{n}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}
\]

называется \” периодом \” колебания ${ }^{1}$ ); он имеет одно и то же значение, какие бы ни были начальные условия, и поэтому колебания называются \”нзохронными\”.

Тип движения, определяемого формулой (4), имеет очень важное значение в механике и в различных отраслях физики; оно называется
4) Величина, обратная периоду, т. е. $\frac{n}{2 \pi}$ указывает число полных колебаний, совершаемых в единицу времени; она в акустике называется ,частотой“.
„простым гармоническим “ или (иногда) „простым“ колебанием. Характер такого движения можно выяснить разными способами. Например, если около $O$ как центра мы опишем круг радиуса $a$ и вообразим, что точка $Q$ описывает этот круг, двигаясь все время в положительном направлении с постоянною угловою скоростью $n$, то ортогональная проекция $P$ точки $Q$ на неподвижный циаметр $A O A^{\prime}$ будет совершать колебания вышеуказанного характера. Чтобы было соответствие с формулою (4), движение точки $Q$ должно начаться в момент $t=0$ из такого положения $Q_{0}$, при котором $\angle A O Q_{0}=\varepsilon$. Тогда абсцисса точки $P$ в момент $t$ будет:
\[
\begin{aligned}
x=a \cos A O Q & =a \cos \left(Q_{0} O Q+A O Q_{0}\right)= \\
& =a \cos (n t+\varepsilon) .
\end{aligned}
\]

Фиг. 3 дает также и наглядное представление о скорости; мы имеем:
\[
x=-n a \sin (n t+\varepsilon)=-n P Q,
\]

если считать $P Q$ положительным или отрицательным в зависимости от расположения его выше или ниже линии $A A^{\prime}$. То же получается другим путем, если построить составляющую скорости (na) точки $Q$, параллельную линии $O A$.

Расстояние $a$ крайних положений $A$ и $A^{\prime}$ от $O$ называется „амплитудой“ колебания, а угловое расстояние $A O Q$ на вспомогательном круге точки $Q$ от $A$ называется ${ }^{\prime}$ фазой“. Таким образом угол $A O Q_{0}$ или $\varepsilon$ можно назвать „начальной фазой “ ${ }^{1}$ ).
Важно также заметить формы кривых на графике пути и на графике скорости ( $\S 1$ ), которые получаются в данном случае (фиг. 4).
Формулы (4) и (7) показывают, что обе кривые будут синусоидами и что нулевые точки одной соответствуют максимумам и минимумам другой. Приложенный чертеж относится к случаю, когда амплитуда равна \”1 cм, а период 4 сек. Масштаб для расстояний, которым соответствует сплошная линия, показан слева, а масштаб для скоростей, которым соответствует пунктирная кривая, показан справа.

ПРимер 1. К только что изученному случаю относятся вертикальные колебания груза, подвешенного к неподвижной точке при помощи спиральной пружины (фиг. 5), если мы предположим, что растяжение пружины подчиняется закону
1) Его иногда называют на английском языке ,эпохой“ – технический термин, обязанный своим происхождением астрономии.

Гука и инсрцией самой пружины в сравнении с инерцией подвешенного тела мшжно пренебречь. Если тело переместится по вертикали вниз на расстояние $x$ от положения равновесия, то начнет действовать восста авливающая сила – $K x$, где $K$ представляет постоянную, кот рую мы можем назвать „жесткостью\” данной пружины. Следовательно, уравнение движения тождественно с уравнением (1), и питому пернод колебания будет:
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}} .
\]

Он увеличивлется с увеличением массы, но уменьшается при увеличении жесткости $K$. Следует заметить, что период не зависит от величины ускорения от силы тяжести, которое лишь обусловливает положение равновесия.

Однако предыдуший результат удобнее выразить через статическое увеличение длины пружины, производимое весом груза в положении равновесия. Обозначая это удлинение через $c$, мы имеем:

так что период будет:
\[
K c=m g,
\]
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\bar{c}}{g}} \text {. }
\]
Фиг. 5.
Мы вскоре увидим ( $\$ 11$ ), что этот период совпадает с периодом колебаний математического маятника, имеющего длину $c$. Выражение подобного типа подучается и во многих других аналогичных задачах.

Наоборот. по наблюдениям периода $T$ и статического удлинения $c$ мы можем вычислить значение $g$, применив формулу
\[
g=\frac{4 \pi c}{T^{2}},
\]

но этот метод вследствие пренебрежетия инерцией пружичы ненадежен. Если же мы предположим, что влияние инерции пружины эквивалентно добавлению к подвешенной массе $m$ массы $m^{\prime}$, то на основании (3) мы будеи иметь:
\[
K T_{1}^{2}=4 \pi^{2}\left(m_{1}+m^{\prime}\right), \quad K T_{2}^{2}=4 \pi^{2}\left(m_{2}+m^{\prime}\right),
\]

в то время как на основании (9)
\[
K c_{1}=m_{1} g, \quad K c_{2}=m_{2} g,
\]

где индексы относятся к опытам, выполненным с двумя разными значениями подвешенных масс. Эти уравнения приводят к формуле:
\[
g=\frac{\left.4 \pi^{2} c_{1}-c_{2}\right)}{T_{1}^{2}-T_{2}^{2}} .
\]

ПРимеР 2. Рассматриваемая теория распространяется также на вертикальные колебания судна, если прені бречь инерцией воды.

Если $\rho$ обозначает плотность воды, а $V$ – объем воды, вытесненный судном, то соотеетствующая масса воды будет равна $\rho V$. Если судно опустится вниз на малую величину $x$, то сила, с которой вода будет действовать в направлении вверх на судно, увеличится на $g \rho A x$ [в технических (весовых) единицах|, где $A$ обоsначает площадь сечения по ватер-лииии („Статика“, § 101) 1). Следовательно,
\[
\rho V_{d t^{2}}^{d^{2} x}=-g \rho A x
\]
1) Ссылки на „Статику\” относятся к книге автора „Statics\”, Cambrige 1912.
или, если $h=\frac{V}{A}$. т. е. $h$ обозначает соеднюю глубину погружения,
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{g}{h} x=0 .
\]

Поэтому период будет:
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\vec{h}}{g}}
\]
т. е. такой же, как и в случае математического маятника длины $h$.
ПР и мЕР 3. Материальная точка $m$ прикреплена к середине струны, туго натянутой с силой $P$ между двумя неподвижными точками; найти малые поперечные колебания массы $m$ (фиг. 6).
Фиг. 6.
Мы будем пренебрегать инерцией струны и предположим, что поперечное перемещение $x$ в сравнении с длиной $l$ очень мало, так что изменение силы натяжения представляет ничтожную дробь от $P$. Тогда восстанавливающая сила будет равна
\[
-\frac{2 P x}{\frac{1}{2} t},
\]

откуда мы имеем:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-4 P \frac{x}{l} \text {. }
\]

Решение будет иметь такой вид, как ( 3 , при
\[
n^{2}=\frac{4 P}{m l} \text {, }
\]

и следовательно, период будет:
\[
T=\frac{2 \pi}{n}=\pi \sqrt{\frac{m l}{P}}
\]

Например, если $l=100$ см, $m=5$ г, $P=981 \cdot 1000$ г см/сек ${ }^{2}$, то период будет 0,071 сек., а соответствующая частота 14,1 .