Предположим, что материальная точка притнгивается к неподвижной точке $O$ с силой, пропорциональной расстоянию. Ускорение в положении $P$ будет изображаться вектором $\mu \cdot P O$, где $\mu$ предстанліет численную величину ускорения при расстоянии, равном единице (фиг. 27). С.едовдтельно, по отношению к осям, проходящим через $O$ в плоскости движения, проекции ускорения будут $-\mu x,-\mu y$, где $x, y$-координаты $P$. Таким образом мы имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\mu x, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\mu y .
\]

Эти уравнения можно решить независимо одно от другого.
Положив

получим:
\[
\mu=n^{2} \text {, }
\]
\[
x=A \cos n t+B \sin n t, \quad y=C \cos n t+D \sin n t,
\]

где постоянные $A, B, C$ и $D$ произвольны.
Если начало отсчета $t$ выбрать в тот момент времени, когда движущаяся точка пересекает ось $x$, например, в точке $(a, 0)$, то мы имеем:
\[
A=a, \quad C=0 \text {. }
\]

Далее, если провести ось $O y$ параллельно направлению движения в этот момент, то мы при $t=0$ имеем: $\dot{x}=0, \dot{y}=v_{0}$, откуда
\[
B=0, n D=v_{0} .
\]

Следовательно, по отношению к этим выбранным осям, мы получнм:
\[
x=a \cos n t, y=b \sin n t,
\]

где
\[
b=\frac{v_{0}}{n} \text {. }
\]

Исключая $t$, будем иметь:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .
\]

Это – уравнение эллипса, отнесенное к сопряженным диаметрам. Так как любую точку траектории можно рассматривать как начальную точку, то формула (7) показынает, что скороіть в точке $P$ изменяется пропорционально длине полуднаметра (например $O D$ ), сопряженного с $O P($ ср. § 21, пример 2). Другими словами, годограф подобен геометрическому месту точек $D$, т. е. самой эллиптической орбите.

Если мы примем за оси координат оси эллипса так, чтобы координаты $x$ и $y$ были прямоугольными, то угол $n t$ в (6) будет тождественным с ээсцентрическим углом “ точки $P$. Закон движения состоит в том, что этот угол возрастает пропорционально времени Кроме того, так как пнонади, онисываемые соответствующими радиусами эллипса и его вспомогательной окружности, находятся в постоянном отношении одна к другой, то вышеприведенная формулировка равнослльна тому, что радиус-вектор $O P$ в равные промежутки времени описывает равные площади.

Этот тип движения называется „эллиптическим гармоническим движением “. Период полного обращения точки $P$ будет:
\[
T=\frac{2 \pi}{n}=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}
\]

и, следовательно, не зависит от начальных данных.
Решение этой задачи в векторной форме весьма просто. В самом деле, мы имеем:
\[
\ddot{\boldsymbol{r}}=-n^{2} \boldsymbol{r},
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a} \cos n t+\boldsymbol{b} \sin n t,
\]

где векторы $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ произвольны. Это есть уравнение эллипса; далее, в момент времени $t=0$ мы имеем:
\[
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}, \boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{r}}=n \boldsymbol{b} .
\]

Эти результаты равносильны результатам (3) и (7).
Пример. Найти огибающую траекторий, описываемых разными точками, брошенными из заданной точки $P$ в разных направлениях с одною и тою же скоростью (фиг. 28).

Так как начальная скорость дана, то длина полудиаметра $O D$, сопряженного с $O P$, известна. Так как сумма квадратов полуосей равна $O P^{2}+O D^{2}$, то, следовательно, она одна и та же для всех орбит.
Таким образом разные орбиты имеют один и тот же направляюший круг (геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных). Если касательная в точке $P$ к одной из орбит встречает этот круг в точке $T$, то перпендикуляр $T Q T^{\prime}$ к $P T$, проведенный через точку $T$, будет касаться этой же орбиты. Если ‘ $Q$ будет точкой касания, то прямая $O T$ будет делить $P Q$ попо эам (например в точке $V$ ) и будет, следовательно, параллельна прямой $P^{\prime} Q$, где $P^{\prime}$ – противоположный конец диаметра, проходящего через $P$. Следовательно,
\[
P Q+P^{\prime} Q=2 T V+2 O V=2 O T=A A^{\prime} .
\]

Фиг. 28,
Кроме того, так как $P Q$ и $P^{\prime} Q$ параллельны соответственно прямым $O T^{\prime}$ и $O T$, то они паклонены к $T T^{\prime}$ под одинаковым углом. Следовтельно, орбита касается в точке $Q$ эллипса, построенного на $A A^{\prime}$, как на большой оси, с фокусами в точках $P, P^{\prime}$. Таким образом этот эллипс и является искомою огибающею.