Предположим, что материальная точка притнгивается к неподвижной точке $O$ с силой, пропорциональной расстоянию. Ускорение в положении $P$ будет изображаться вектором $\mu \cdot PO$, где $\mu$ предстанліет численную величину ускорения при расстоянии, равном единице (фиг. 27). С.едовдтельно, по отношению к осям, проходящим через $O$ в плоскости движения, проекции ускорения будут $-\mu x,-\mu y$, где $x,y$-координаты $P$. Таким образом мы имеем:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\mu x,\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-\mu y.$$

Эти уравнения можно решить независимо одно от другого.
Положив

получим:
$$\mu =n^2\text{, }$$
$$x=A\cos nt+B\sin nt,y=C\cos nt+D\sin nt,$$

где постоянные $A,B,C$ и $D$ произвольны.
Если начало отсчета $t$ выбрать в тот момент времени, когда движущаяся точка пересекает ось $x$, например, в точке $(a,0)$, то мы имеем:
$$A=a,C=0\text{. }$$

Далее, если провести ось $Oy$ параллельно направлению движения в этот момент, то мы при $t=0$ имеем: $\dot{x}=0,\dot{y}=v_0$, откуда
$$B=0,nD=v_0.$$

Следовательно, по отношению к этим выбранным осям, мы получнм:
$$x=a\cos nt,y=b\sin nt,$$

где
$$b=\frac{v_0}{n}\text{. }$$

Исключая $t$, будем иметь:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Это — уравнение эллипса, отнесенное к сопряженным диаметрам. Так как любую точку траектории можно рассматривать как начальную точку, то формула (7) показынает, что скороіть в точке $P$ изменяется пропорционально длине полуднаметра (например $OD$ ), сопряженного с $OP($ ср. § 21, пример 2). Другими словами, годограф подобен геометрическому месту точек $D$, т. е. самой эллиптической орбите.

Если мы примем за оси координат оси эллипса так, чтобы координаты $x$ и $y$ были прямоугольными, то угол $nt$ в (6) будет тождественным с ээсцентрическим углом “ точки $P$. Закон движения состоит в том, что этот угол возрастает пропорционально времени Кроме того, так как пнонади, онисываемые соответствующими радиусами эллипса и его вспомогательной окружности, находятся в постоянном отношении одна к другой, то вышеприведенная формулировка равнослльна тому, что радиус-вектор $OP$ в равные промежутки времени описывает равные площади.

Этот тип движения называется „эллиптическим гармоническим движением “. Период полного обращения точки $P$ будет:
$$T=\frac{2\pi }{n}=\frac{2\pi }{\sqrt{\mu }}$$

и, следовательно, не зависит от начальных данных.
Решение этой задачи в векторной форме весьма просто. В самом деле, мы имеем:
$$\ddot{\mathit{r}}=-n^2\mathit{r},$$

и, следовательно,
$$\mathit{r}=\mathit{a}\cos nt+\mathit{b}\sin nt,$$

где векторы $\mathit{a},\mathit{b}$ произвольны. Это есть уравнение эллипса; далее, в момент времени $t=0$ мы имеем:
$$\mathit{r}=\mathit{a},\mathit{v}=\dot{\mathit{r}}=n\mathit{b}.$$

Эти результаты равносильны результатам (3) и (7).
Пример. Найти огибающую траекторий, описываемых разными точками, брошенными из заданной точки $P$ в разных направлениях с одною и тою же скоростью (фиг. 28).

Так как начальная скорость дана, то длина полудиаметра $OD$, сопряженного с $OP$, известна. Так как сумма квадратов полуосей равна $O{P}^2+O{D}^2$, то, следовательно, она одна и та же для всех орбит.
Таким образом разные орбиты имеют один и тот же направляюший круг (геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных). Если касательная в точке $P$ к одной из орбит встречает этот круг в точке $T$, то перпендикуляр $TQ{T}^{\prime }$ к $PT$, проведенный через точку $T$, будет касаться этой же орбиты. Если ‘ $Q$ будет точкой касания, то прямая $OT$ будет делить $PQ$ попо эам (например в точке $V$ ) и будет, следовательно, параллельна прямой $P^{\prime }Q$, где $P^{\prime }$ — противоположный конец диаметра, проходящего через $P$. Следовательно,
$$PQ+P^{\prime }Q=2TV+2OV=2OT=A{A}^{\prime }.$$

Фиг. 28,
Кроме того, так как $PQ$ и $P^{\prime }Q$ параллельны соответственно прямым $O{T}^{\prime }$ и $OT$, то они паклонены к $T{T}^{\prime }$ под одинаковым углом. Следовтельно, орбита касается в точке $Q$ эллипса, построенного на $A{A}^{\prime }$, как на большой оси, с фокусами в точках $P,P^{\prime }$. Таким образом этот эллипс и является искомою огибающею.