Метод, которому мы следовали в первой части § 109 , заключается в доказательстве, что возможны два типа движения системы, при котором каждая из независимых координат $\theta ,\phi$ совершает простое гармоническое колебание с одним и тем же периодом и с одною и тою же фазою. Мы нашли, что в случае устойчивости существуют два таких типа движения. Каждое из них называется „нормальным“ колебанием системы; его период определяется только структурою системы; характер движения будет также вполне определенный, как только будут фиксированы относительные амплитуды $\theta ,\phi$, если бы даже абсолютные амплитуды и фазы были произвольны.
формулы для двух нормальных колебаний будут следующие:
$$\theta =C_1\cos (n_{1}t+{\epsilon }_1),\phi =k_1{C}_1\cos (n_{1}t+{\epsilon }_1)$$

H
$$\theta =C_2\cos (n_{2}t+{\epsilon }_2),\phi =k_2{C}_2\cos (n_{2}t+{\epsilon }_2).$$

Мы видели, что путем сложения таких колебаний с произвольными амплитудами $C_1,C_2$ и фазами ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ можно получить наиболее общий случай движения системы, вызванного незначительным возмущением.

Если система совершает только одно из этих нормальных колебаний, то каждая точка совершает простое гармоническое колебание вдоль прямой линии, и разные точки системы движутся синхронно, проходя через их относительные положения равновесия одновременно. Относительные амплитуды будут также иметь определенные значения. Чтобы убедиться в этом, достаточно составить выражения для компонентов перемещения точки, имеющей среднее положение $(x,y,z)$. В силу предполагаемой малости $\theta$, $\phi$ мы в случае первого основного колебания имеем:
$$\begin{array}{l}\delta x=\frac{\partial x}{\partial \theta }\theta +\frac{\partial x}{\partial \phi }\phi =(\frac{\partial x}{\partial \theta }+k_1\frac{\partial x}{\partial \phi })C_1\cos (n_{1}t+{\epsilon }_1),\\ \partial y=\frac{\partial y}{\partial \theta }\theta +\frac{\partial y}{\partial \rho }\phi =(\frac{\partial y}{\partial \theta }+k_1\frac{\partial y}{\partial \phi })C_1\cos (n_{1}t+{\epsilon }_1),\\ \delta z=\frac{\partial z}{\partial \theta }\theta +\frac{\partial z}{\partial \phi }\phi =(\frac{\partial z}{\partial \theta }+k_1\frac{\partial z}{\partial \phi })C_1\cos (n_{1}t+{\epsilon }_1).\end{array}\}$$

Мы видим, что отношения $\delta x:\delta y:\delta z$ имеют определенные значения для каждой точки и не зависят ни от времени, ни от абсолютной амплитуды $C_1$.

Как мы видели в § 109, нормальные колебания характеризуются тем свойством, что при малом изменении колебания период является стационарным, т. е. если заставить систему совершать колеБания, несколько отличные от „нормального“, то период с точностью до величин первого порядка остается без изменения. В качестве примера мы можем обратиться к случаю движения в гладкой чаше (§29). Если заставить материальную точку колебаться в вертикальной плоскости, проходящёй через самую низкую точку чаши, то период будет равен $2\pi \sqrt{\frac{\overline{R}}{g}}$, где $R$ есть радиус кривизны сечения. Период имеет максимальное или минимальное значение, когда сечение совпадает с одним из главных нормальных сечений, проходящих через наинизшую точку дна чаши.

Конечно, координаты $\theta$, $\phi$, определяющие конфигурацию системы, можно выбрать бесконечным числом способов. Можно, однако, выбрать координаты таким образом, чтобы при каждом нормальном колебании происходило изменение только одной координаты. Такой выбор представляет особый интерес с теоретической точки зрения.
Мы видели, что имеют место равенства:
$$\begin{array}{l}{n}_1^2(A+H{k}_1)=a+h{k}_1,\\ n_1^2(H+B{k}_1)=h+b{k}_1,\end{array}\}$$

и аналогичные равенства, содержащие $n_2^2$. Если мы умножим второе из равенств (4) на $k_2$ и сложим с первым, то получим:
$$n_1^2\{A+H(k_1+k_2)+B{k}_1{k}_2\}=a+h(k_1+k_2)+b{k}_1{k}_2;$$

аналогичным образом мы могли бы найти
$$n_2^2\{A+H(k_1+k_2)+B{k}_1{k}_2\}=a+h(k_1+k_2)+b{k}_1{k}_2.$$

Вычитая, мы заключаем, что если $n_1^{2}eq{n}_2^2$, то должно быть
$$A+H(k_1+k_2)+B{k}_1{k}_2=0$$

и
$$a+h(k_1+k_2)+b{k}_1{k}_2=0.$$

Следовательно, если мы положим
$$\theta =q_1+q_2,\phi =k_1{q}_1+k_2{q}_2,$$

то выражения для кинетической и потенциальной энергии примут упрощенные формы:
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}(A_1{\dot{q}}_1^2+A_2{\dot{q}}_2^2),\\ U-U_0& =\frac{1}{2}(a_1{q}_1^2+a_2{q}_2^2),\end{array}$$

где
$$A_1=A+2H{k}_1+B{k}_1^2,A_2=A+2H{k}_2+B{k}_2^2$$

и
$$a_1=a+2h{k}_1+b{k}_1^2,a_2=a+2h{k}_2+b{k}_2^2.$$

Члены, содержащие произведения ${\dot{q}}_1{\dot{q}}_2$ и $q_1{q}_2$, в соответствии с равенствами (7) и (8) обращаются в нуль.

Новые переменные $q_1,q_2$ называются ${}_n$ нормальными\» координатами системы ${}^1$ ). Уравнения для малых перемещений, выраженные в нормальных координатах, имеют вид:
$$A_1{\ddot{q}}_1+a_1{q}_1=0,A_2{\ddot{q}}_2+a_2{q}_2=0$$

и не зависят друг от друга. При каждом нормальном колебании изменяется только одна координата, и оба периода будут определять̆ся формулами:
$$n_1^2=\frac{a_1}{A_1},n_2^2=\frac{a_2}{A_2}.$$

Мы видели, что когда корни квадратного уравнения (относительно $n^i$ ) между собой совпадают, то величины $k$ имеют неопределенные значения, а следовательно, и характер нормальных колебаний становится неопределенным. В этом случае решение системы диференциальных уравнений (5) $\mathrm{\S }109$ имеет вид:
$$\theta =C\cos (nt+\epsilon ),\phi =C^{\prime }\cos (nt+{\epsilon }^{\prime }),$$

где $C,C^{\prime },\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }$ произвольны, и
$$n^2=\frac{a}{A}=\frac{h}{H}=\frac{b}{B}.$$

В качестве примера может служить сферический маятник (§29).
ПРимер 1. Если мы имеем две точки е одинаковыми массами, прикрепленные симметрично к натянутой нити, как на фиг. 40, (стр. 120), то работа, необходимая для того, чтобы оттянуть три участка нити при натяжении $P$ в положение, указанное на чертеже, будет равна приближенно выражению:
$$\begin{array}{rl}U& =P[\sqrt{a+x^2}-a+\sqrt{4b^2+(y-x{)}^2}-2b+\sqrt{a^2+y^2}-a]=\\ & =\frac{1}{2}P(\frac{x^2}{a}+\frac{(x-y{)}^2}{2b}+\frac{y^2}{a}).\end{array}$$
1) С аналитической точки зрения рассмотрение нормальных колебаний и нормальных координат идентично с решением задачи о разыскании двух диаметров, сопряженных по отношению к каждому из конических сечений
$$\begin{array}{l}A{x}^2+2Hxy+B{y}^2=\text{ const. }\\ a{x}^2+2hxy+b{y}^2=\text{ const. }\end{array}$$

и с определением вида, какой примут уравнения, если отнести конические сечения к этим диаметрам. Так как первое из двух конических сечений представляет эллипс, то общие сопряженные диаметры будут действительными, как в этом можно убеднться при ортогональном проектированни эллипса таким образом, чтобы получился круг.

Так как кинетическая энергия выражается формулою:
$$T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2),$$

то уравнения (2) § 109 примут вид:
$$\begin{array}{l}m\ddot{x}+P(\frac{x}{a}+\frac{x-y}{2b})=0,\\ my+P(\frac{y-x}{2b}+\frac{y}{a})=0.\end{array}\}$$

Эти уравнения совпадают с уравнениями (13) § 44 .
Результаты § 44 показывают, что в этом случае нормальные координаты пропорциональны соответственно количествам $x+y$ и $x-y$. В самом деле, если мы положим
$$x=u-v,y=u-v$$

то получим:
$$T=m({\dot{u}}^2+{\dot{v}}^2)$$

и
$$U=P\{\frac{u^2}{a}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})v^2\}.$$

Уравнения Лагранжа в этих переменных имеют вид:
$$m\ddot{u}+\frac{P}{a}u=0,m\ddot{v}+P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})v=0.$$

При одном нормальном колебании мы имеем $u=0$, а при другом $v=0$; частоты будут такие же, как и по формулам (17) § 44.

ПРимЕР 2. Для двойного маятника фиг. 39 (стр. 117) мы с указанным приближением имеем:
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}\{(m+m^{\prime })l^2\dot{{\theta }_2}+2m^{\prime }l{l}^{\prime }\dot{\theta }\dot{\phi }+m^{\prime }{l}^2\dot{{\dot{\phi }}^2}\}\dots ,\\ U-U_0& =\frac{1}{2}\{(m+m^{\prime })g{\theta }^2+m^{\prime }g{l}^{\prime }{\phi }^2\}.\end{array}$$

В этом случае формулы (2) § 109 после упрощения приводят к уравнениям:
$$\begin{array}{c}(m+m^{\prime })\dot{\theta }+m^{\prime }{\ddot{l}}^{\ddot{\phi }}+(m+m^{\prime })g^{\theta }=0,\\ \ddot{\theta }+l^{\prime }\ddot{\phi }+g\phi =0,\end{array}\}$$

и решение можно получить, как в § 44. В самом деле, легко видеть, что только что полученные уравнения эквивалентны уравнениям (1) § 44, если положить
$$x=l\theta ,y=l\theta +l^{\prime }\phi .$$

Задачу о колебаниях двойного маятника (фиг. 64) можно решить совершенно таким же образом и сравнить результаты, полученные таким путем, с результатами, полученными в § 68 .