Метод, которому мы следовали в первой части § 109 , заключается в доказательстве, что возможны два типа движения системы, при котором каждая из независимых координат $\theta, \varphi$ совершает простое гармоническое колебание с одним и тем же периодом и с одною и тою же фазою. Мы нашли, что в случае устойчивости существуют два таких типа движения. Каждое из них называется „нормальным“ колебанием системы; его период определяется только структурою системы; характер движения будет также вполне определенный, как только будут фиксированы относительные амплитуды $\theta, \varphi$, если бы даже абсолютные амплитуды и фазы были произвольны.
формулы для двух нормальных колебаний будут следующие:
\[
\theta=C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right), \quad \varphi=k_{1} C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right)
\]

H
\[
\theta=C_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \quad \varphi=k_{2} C_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right) .
\]

Мы видели, что путем сложения таких колебаний с произвольными амплитудами $C_{1}, C_{2}$ и фазами $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ можно получить наиболее общий случай движения системы, вызванного незначительным возмущением.

Если система совершает только одно из этих нормальных колебаний, то каждая точка совершает простое гармоническое колебание вдоль прямой линии, и разные точки системы движутся синхронно, проходя через их относительные положения равновесия одновременно. Относительные амплитуды будут также иметь определенные значения. Чтобы убедиться в этом, достаточно составить выражения для компонентов перемещения точки, имеющей среднее положение $(x, y, z)$. В силу предполагаемой малости $\theta$, $\varphi$ мы в случае первого основного колебания имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta x=\frac{\partial x}{\partial \theta} \theta+\frac{\partial x}{\partial \varphi} \varphi=\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}+k_{1} \frac{\partial x}{\partial \varphi}\right) C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right), \\
\partial y=\frac{\partial y}{\partial \theta} \theta+\frac{\partial y}{\partial \rho} \varphi=\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}+k_{1} \frac{\partial y}{\partial \varphi}\right) C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right), \\
\delta z=\frac{\partial z}{\partial \theta} \theta+\frac{\partial z}{\partial \varphi} \varphi=\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}+k_{1} \frac{\partial z}{\partial \varphi}\right) C_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Мы видим, что отношения $\delta x: \delta y: \delta z$ имеют определенные значения для каждой точки и не зависят ни от времени, ни от абсолютной амплитуды $C_{1}$.

Как мы видели в § 109, нормальные колебания характеризуются тем свойством, что при малом изменении колебания период является стационарным, т. е. если заставить систему совершать колеБания, несколько отличные от „нормального“, то период с точностью до величин первого порядка остается без изменения. В качестве примера мы можем обратиться к случаю движения в гладкой чаше (§29). Если заставить материальную точку колебаться в вертикальной плоскости, проходящёй через самую низкую точку чаши, то период будет равен $2 \pi \sqrt{\frac{\bar{R}}{g}}$, где $R$ есть радиус кривизны сечения. Период имеет максимальное или минимальное значение, когда сечение совпадает с одним из главных нормальных сечений, проходящих через наинизшую точку дна чаши.

Конечно, координаты $\theta$, $\varphi$, определяющие конфигурацию системы, можно выбрать бесконечным числом способов. Можно, однако, выбрать координаты таким образом, чтобы при каждом нормальном колебании происходило изменение только одной координаты. Такой выбор представляет особый интерес с теоретической точки зрения.
Мы видели, что имеют место равенства:
\[
\left.\begin{array}{l}
n_{1}^{2}\left(A+H k_{1}\right)=a+h k_{1}, \\
n_{1}^{2}\left(H+B k_{1}\right)=h+b k_{1},
\end{array}\right\}
\]

и аналогичные равенства, содержащие $n_{2}^{2}$. Если мы умножим второе из равенств (4) на $k_{2}$ и сложим с первым, то получим:
\[
n_{1}^{2}\left\{A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right\}=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} ;
\]

аналогичным образом мы могли бы найти
\[
n_{2}^{2}\left\{A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right\}=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} .
\]

Вычитая, мы заключаем, что если $n_{1}^{2}
eq n_{2}^{2}$, то должно быть
\[
A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}=0
\]

и
\[
a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2}=0 .
\]

Следовательно, если мы положим
\[
\theta=q_{1}+q_{2}, \quad \varphi=k_{1} q_{1}+k_{2} q_{2},
\]

то выражения для кинетической и потенциальной энергии примут упрощенные формы:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(A_{1} \dot{q}_{1}^{2}+A_{2} \dot{q}_{2}^{2}\right), \\
U-U_{0} & =\frac{1}{2}\left(a_{1} q_{1}^{2}+a_{2} q_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
A_{1}=A+2 H k_{1}+B k_{1}^{2}, \quad A_{2}=A+2 H k_{2}+B k_{2}^{2}
\]

и
\[
a_{1}=a+2 h k_{1}+b k_{1}^{2}, \quad a_{2}=a+2 h k_{2}+b k_{2}^{2} .
\]

Члены, содержащие произведения $\dot{q}_{1} \dot{q}_{2}$ и $q_{1} q_{2}$, в соответствии с равенствами (7) и (8) обращаются в нуль.

Новые переменные $q_{1}, q_{2}$ называются ${ }_{n}$ нормальными\» координатами системы ${ }^{1}$ ). Уравнения для малых перемещений, выраженные в нормальных координатах, имеют вид:
\[
A_{1} \ddot{q}_{1}+a_{1} q_{1}=0, \quad A_{2} \ddot{q}_{2}+a_{2} q_{2}=0
\]

и не зависят друг от друга. При каждом нормальном колебании изменяется только одна координата, и оба периода будут определять̆ся формулами:
\[
n_{1}^{2}=\frac{a_{1}}{A_{1}}, \quad n_{2}^{2}=\frac{a_{2}}{A_{2}} .
\]

Мы видели, что когда корни квадратного уравнения (относительно $n^{i}$ ) между собой совпадают, то величины $k$ имеют неопределенные значения, а следовательно, и характер нормальных колебаний становится неопределенным. В этом случае решение системы диференциальных уравнений (5) $\S 109$ имеет вид:
\[
\theta=C \cos (n t+\varepsilon), \quad \varphi=C^{\prime} \cos \left(n t+\varepsilon^{\prime}\right),
\]

где $C, C^{\prime}, \varepsilon, \varepsilon^{\prime}$ произвольны, и
\[
n^{2}=\frac{a}{A}=\frac{h}{H}=\frac{b}{B} .
\]

В качестве примера может служить сферический маятник (§29).
ПРимер 1. Если мы имеем две точки е одинаковыми массами, прикрепленные симметрично к натянутой нити, как на фиг. 40, (стр. 120), то работа, необходимая для того, чтобы оттянуть три участка нити при натяжении $P$ в положение, указанное на чертеже, будет равна приближенно выражению:
\[
\begin{aligned}
U & =P\left[\sqrt{a+x^{2}}-a+\sqrt{4 b^{2}+(y-x)^{2}}-2 b+\sqrt{a^{2}+y^{2}}-a\right]= \\
& =\frac{1}{2} P\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{(x-y)^{2}}{2 b}+\frac{y^{2}}{a}\right) .
\end{aligned}
\]
1) С аналитической точки зрения рассмотрение нормальных колебаний и нормальных координат идентично с решением задачи о разыскании двух диаметров, сопряженных по отношению к каждому из конических сечений
\[
\begin{array}{l}
A x^{2}+2 H x y+B y^{2}=\text { const. } \\
a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

и с определением вида, какой примут уравнения, если отнести конические сечения к этим диаметрам. Так как первое из двух конических сечений представляет эллипс, то общие сопряженные диаметры будут действительными, как в этом можно убеднться при ортогональном проектированни эллипса таким образом, чтобы получился круг.

Так как кинетическая энергия выражается формулою:
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right),
\]

то уравнения (2) § 109 примут вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}+P\left(\frac{x}{a}+\frac{x-y}{2 b}\right)=0, \\
m y+P\left(\frac{y-x}{2 b}+\frac{y}{a}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения совпадают с уравнениями (13) § 44 .
Результаты § 44 показывают, что в этом случае нормальные координаты пропорциональны соответственно количествам $x+y$ и $x-y$. В самом деле, если мы положим
\[
x=u-v, \quad y=u-v
\]

то получим:
\[
T=m\left(\dot{u}^{2}+\dot{v}^{2}\right)
\]

и
\[
U=P\left\{\frac{u^{2}}{a}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) v^{2}\right\} .
\]

Уравнения Лагранжа в этих переменных имеют вид:
\[
m \ddot{u}+\frac{P}{a} u=0, \quad m \ddot{v}+P\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) v=0 .
\]

При одном нормальном колебании мы имеем $u=0$, а при другом $v=0$; частоты будут такие же, как и по формулам (17) § 44.

ПРимЕР 2. Для двойного маятника фиг. 39 (стр. 117) мы с указанным приближением имеем:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left\{\left(m+m^{\prime}\right) l^{2} \dot{\theta_{2}}+2 m^{\prime} l l^{\prime} \dot{\theta} \dot{\varphi}+m^{\prime} l^{2} \dot{\dot{\varphi}^{2}}\right\} \ldots, \\
U-U_{0} & =\frac{1}{2}\left\{\left(m+m^{\prime}\right) g \theta^{2}+m^{\prime} g l^{\prime} \varphi^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

В этом случае формулы (2) § 109 после упрощения приводят к уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(m+m^{\prime}\right) \dot{\theta}+m^{\prime} \ddot{l}^{\ddot{\varphi}}+\left(m+m^{\prime}\right) g^{\theta}=0, \\
\ddot{\theta}+l^{\prime} \ddot{\varphi}+g \varphi=0,
\end{array}\right\}
\]

и решение можно получить, как в § 44. В самом деле, легко видеть, что только что полученные уравнения эквивалентны уравнениям (1) § 44, если положить
\[
x=l \theta, \quad y=l \theta+l^{\prime} \varphi .
\]

Задачу о колебаниях двойного маятника (фиг. 64) можно решить совершенно таким же образом и сравнить результаты, полученные таким путем, с результатами, полученными в § 68 .