Главная > ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. TОМ ВТОРОЙ (Г. ЛАМБ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Изучение „возмущений \” (пертурбаций), производимых в орбите одного тела вследствие притяжения другим телом, представляет особую задачу небесной механики. В книге, подобной данной, мы можем остановиться лишь на одном или двух наиболее простых вопросах.

В первую очередь можно заметить, что влияние на орјиту планеты вокруг Солнца или орбигу спутника вокруг планеты оказывает не абсолюгное ускорение, сообцаемое возмущаюцим телом, а ускорение относительно Солнца в перьом случче или относительно планеты во втором, т. е. влияние оказывает геометрическая разнıсть ускорений, сообщенных соответственно планете и Солнцу или спутнику и планете. Это относительное ускорение и имеют в виду, когда говорят о „возмущающей силе\”.

Так как возмушающие силы обычно очень малы, то их действие сказывается лишь постепенно. По этой иричине Лагранж ввел пэнятие о \”мгновенном эллипсе“, т. е. об эллиптической орбите, которую, начиная с какого-либл момента, планета продолжала бы описывать, если бы возмущающая сила перестала действовать. Измененне этого эллипса происходит сравнительно медленно.

Чтобы иллюстрировать эгод метод с принципиальной стороны, исследуем изменение эллипса, производимге мгновенным импульсом, приложенным в плоскости эллипса. Такой импульс можно разложить соответственно на два составляющих: один по направтению движения и другой – перпендикулярный к направлению движения; действие этих составляюших можно рассматривать отдельно.

Предположим сперва, что мы имеем незначительный касательный импульс, изменяющий скорость из $v$ в $v+\delta v$. Уравнение
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)
\]

непосредственно дает изменение среднего расстояния, так как из входящих в эго уравнение количеств лишь $v$ и $a$ изменят мгновенно свои значения.

Следовательно, небольшие изменення этих количеств связаны соотношением:
\[
2 v\rangle v=\frac{\mu}{a^{2}} \delta a,
\]

или
\[
\frac{6 a}{a}=\frac{2 v \partial v}{n^{2} a^{2}},
\]

где $n$ есть средняя угловая скорость ( $\$ 76$ ).
Так как направление движения не изменилось, то расстояние точки $P$, в которой находится тело, от фокуса $H$, не занятого центральным светилом, должно измениться из $P H$ в $P H^{\prime}$, где $H H=2 \hat{\delta} a^{1}$ ). Следовательно, вообще говоря, напракление линии апсид изменится, а именно из $S H$ в $S H^{\prime}$ (фиг. 79).

Для определения изменения малой оси мы на основании $\S 76,(7)$ имеем:
\[
b^{2}=a l=\frac{a h^{2}}{\mu}=\frac{a p^{2} v^{2}}{\mu} .
\]

Фиг. 79.
Так как – вследствие неизменности направления скорости – мгновенного изменения перпендикуляра $p$ не происходит, то, взяв логарифмический диференциал, мы на основании (2) получим:
\[
\frac{\delta b}{b}=\frac{1}{2} \frac{\delta a}{a}+\frac{\delta v}{v}=\left(1+\frac{v^{2}}{n^{2} a^{2}}\right) \frac{\delta v}{v} .
\]

Так как
\[
n^{2} a^{3}=\mu,
\]

то изменение среднего движения $n$ будет определяться при помощи формулы:
\[
\frac{\delta n}{n}=-\frac{3}{2} \frac{\delta a}{a}=-3 \frac{v \partial े v}{n^{2} a^{2}} .
\]

Обозначив через $K$ среднюю кинетическую энергию на орбите, мы на основании § 76 , пример 2 имеем:
\[
K=\frac{1}{2} n^{2} a^{2}=\frac{1}{2} \frac{\mu}{a},
\]

и следовательно,
\[
\delta K=-\frac{1}{2} \frac{\mu}{a^{2}} \delta a=-v \delta v .
\]
1) Так как радиусы-векторы должны образовывать с касательною равные между собою углы, фокус же $S$, в котором находится центральное светило, измениться не может. то изменение полуоси возможно только перемещением второго фокуса вдоль радиуса-векгора. Прим. ред.

В случе почти круговой орјиты, когда почти в точности $v=n a$, мы получим:
\[
\frac{\partial a}{a}=\frac{\delta b}{b}=2 \frac{\delta v}{v}, \frac{\delta n}{n}=-3 \frac{\partial v}{v}, \frac{\delta K}{K}=-2 \frac{\delta v}{v} .
\]

О применении этих формул для случая движения в сопротивляюшеАся среде см. §100. Другую интересную иллюстрацию дает теория реакции на Луну земных прюливов в предполсжении, что последние замедляются из-за трения. Цействие реакции будет заключаться главным образом в сообщении небольного касательного ускорения $f$. Мы видим, что если ускорение $f$ положительно, то действие реакиии будет заключаться в постешенном увеличении размера лунной орбиты, в то время как угловая скорость движения Луны по прбите и средняя кинегическая энергия Луны будут уменьшаться. Эго уменьшение кинетической энергии, конечно, с избыткои компенсируется угеличением потенциальной энергии, причем полная энергия Луны вследствие действия ускоряющей силы увеличивается.
Рассмотрим теперь случай нејольшого нормального импульса. Пусть будет скорость, которую приобрело бы телэ от Фиг. $\varepsilon 0$. этого импульса, если бы оно находилось первоначально в покое. После прекрашения дсйтвия импульса результирующая скорость будет иметь вляичину $\sqrt{v^{2}+(0 v)^{2}}$, а следовательно, с точностью до величин первого порядка будет равна $v$. Тогда из формулы (1) следует, что при этом мгновенгого изменения значения $a$ не будет. Напротив, направление движения повернется на угол $\frac{\partial v}{v}$, и следовательно, второй фокус переместится из $H$ в точку $H^{\prime}$ таким образом, чтобы было $P H^{\prime}=P H$, причем будет
\[
H H^{\prime}=P H \cdot \frac{2 \partial v}{v} .
\]

Направление линии апсид при этом вообще изченяется (флг. 80).
Јействие внезапного незначительного изменения абсолютного ускорения ц можно найти путем диференцировдния гавенства (1), если считать, что изменяются только $\mu$ и $a$. Таким образом:
\[
\frac{\mu}{\omega^{2}} \delta a+\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) \delta_{\mu}=0,
\]

или
\[
\frac{\delta a}{a}=-\frac{r^{\prime}}{r} \frac{3 \mu}{\mu},
\]

где,$\prime$ есть расстояние до второго фокуса. Аналогично, так как $\iota^{2} a^{3}=\mu$, нмеем:
\[
\frac{\delta n}{n}=\frac{1}{2} \frac{\delta u}{\mu}-\frac{3}{2} \frac{\delta \partial}{a}=\left(\frac{3 \alpha}{r}-1\right) \frac{\delta u}{\mu},
\]

В случае почти круговой орбиты эти равенства приводлтся к таким:
\[
\frac{\delta a}{a}=-\frac{\delta \mu}{\mu}, \quad \frac{\delta n}{n}=2 \frac{\delta \mu}{\mu} .
\]

Например, если бы масса Солнца 1) увеличилась вследствие падения метеоритов, то орбита Земли сжалась бы, а скорость обращения Земли вокруг Солнца увеличилась бы.

Пгимер. Сравнить наибольшую возмущающую силу Солнца, действующую на Луну, с силою притяжения Земли.

Если воспользоваться обозначениями, принятыми в § 75 при определении массы Земли, и пренебречь квадратом малой дроби $\frac{D^{\prime}}{D}$, то возмущающая сила Солнца в момент „соединения\”, т. е. когда Луна находится между Солнцем и Землей, будет иметь приближенное значение:
\[
\frac{\gamma S}{\left(D-D^{\prime}\right)^{2}}-\frac{\gamma S}{D^{2}}=\frac{2 \gamma S D^{\prime}}{D^{3}} .
\]

Когда Луна находится в противостоянии, то возмущающая сила будет:
\[
\frac{\gamma S}{\left(D+D^{\prime}\right)^{2}}-\frac{\gamma S}{D^{2}}=-\frac{2 \gamma S D^{\prime}}{D^{3}} .
\]

В обоих случаях возмущающая сила направлена от 3 емли. Отношение количества (13) к силе притяжения Землею Луны, а именно $\frac{Y E}{D^{2}}$, будет иметь вид:
\[
2 \frac{S}{E} \cdot\left(\frac{D^{\prime}}{D}\right)^{3} .
\]

На основании \& 75 , (3) это выражение (15) равно приближенно следующему числу:
\[
-2\left(\frac{T^{\prime}}{T}\right)^{2}=\frac{2}{(13,7)^{2}}=\frac{1}{90} .
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru