Изучение „возмущений \» (пертурбаций), производимых в орбите одного тела вследствие притяжения другим телом, представляет особую задачу небесной механики. В книге, подобной данной, мы можем остановиться лишь на одном или двух наиболее простых вопросах.

В первую очередь можно заметить, что влияние на орјиту планеты вокруг Солнца или орбигу спутника вокруг планеты оказывает не абсолюгное ускорение, сообцаемое возмущаюцим телом, а ускорение относительно Солнца в перьом случче или относительно планеты во втором, т. е. влияние оказывает геометрическая разнıсть ускорений, сообщенных соответственно планете и Солнцу или спутнику и планете. Это относительное ускорение и имеют в виду, когда говорят о „возмущающей силе\».

Так как возмушающие силы обычно очень малы, то их действие сказывается лишь постепенно. По этой иричине Лагранж ввел пэнятие о \»мгновенном эллипсе“, т. е. об эллиптической орбите, которую, начиная с какого-либл момента, планета продолжала бы описывать, если бы возмущающая сила перестала действовать. Измененне этого эллипса происходит сравнительно медленно.

Чтобы иллюстрировать эгод метод с принципиальной стороны, исследуем изменение эллипса, производимге мгновенным импульсом, приложенным в плоскости эллипса. Такой импульс можно разложить соответственно на два составляющих: один по направтению движения и другой — перпендикулярный к направлению движения; действие этих составляюших можно рассматривать отдельно.

Предположим сперва, что мы имеем незначительный касательный импульс, изменяющий скорость из $v$ в $v+\delta v$. Уравнение
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)
\]

непосредственно дает изменение среднего расстояния, так как из входящих в эго уравнение количеств лишь $v$ и $a$ изменят мгновенно свои значения.

Следовательно, небольшие изменення этих количеств связаны соотношением:
\[
2 v\rangle v=\frac{\mu}{a^{2}} \delta a,
\]

или
\[
\frac{6 a}{a}=\frac{2 v \partial v}{n^{2} a^{2}},
\]

где $n$ есть средняя угловая скорость ( $\$ 76$ ).
Так как направление движения не изменилось, то расстояние точки $P$, в которой находится тело, от фокуса $H$, не занятого центральным светилом, должно измениться из $P H$ в $P H^{\prime}$, где $H H=2 \hat{\delta} a^{1}$ ). Следовательно, вообще говоря, напракление линии апсид изменится, а именно из $S H$ в $S H^{\prime}$ (фиг. 79).

Для определения изменения малой оси мы на основании $\S 76,(7)$ имеем:
\[
b^{2}=a l=\frac{a h^{2}}{\mu}=\frac{a p^{2} v^{2}}{\mu} .
\]

Фиг. 79.
Так как — вследствие неизменности направления скорости — мгновенного изменения перпендикуляра $p$ не происходит, то, взяв логарифмический диференциал, мы на основании (2) получим:
\[
\frac{\delta b}{b}=\frac{1}{2} \frac{\delta a}{a}+\frac{\delta v}{v}=\left(1+\frac{v^{2}}{n^{2} a^{2}}\right) \frac{\delta v}{v} .
\]

Так как
\[
n^{2} a^{3}=\mu,
\]

то изменение среднего движения $n$ будет определяться при помощи формулы:
\[
\frac{\delta n}{n}=-\frac{3}{2} \frac{\delta a}{a}=-3 \frac{v \partial े v}{n^{2} a^{2}} .
\]

Обозначив через $K$ среднюю кинетическую энергию на орбите, мы на основании § 76 , пример 2 имеем:
\[
K=\frac{1}{2} n^{2} a^{2}=\frac{1}{2} \frac{\mu}{a},
\]

и следовательно,
\[
\delta K=-\frac{1}{2} \frac{\mu}{a^{2}} \delta a=-v \delta v .
\]
1) Так как радиусы-векторы должны образовывать с касательною равные между собою углы, фокус же $S$, в котором находится центральное светило, измениться не может. то изменение полуоси возможно только перемещением второго фокуса вдоль радиуса-векгора. Прим. ред.

В случе почти круговой орјиты, когда почти в точности $v=n a$, мы получим:
\[
\frac{\partial a}{a}=\frac{\delta b}{b}=2 \frac{\delta v}{v}, \frac{\delta n}{n}=-3 \frac{\partial v}{v}, \frac{\delta K}{K}=-2 \frac{\delta v}{v} .
\]

О применении этих формул для случая движения в сопротивляюшеАся среде см. §100. Другую интересную иллюстрацию дает теория реакции на Луну земных прюливов в предполсжении, что последние замедляются из-за трения. Цействие реакции будет заключаться главным образом в сообщении небольного касательного ускорения $f$. Мы видим, что если ускорение $f$ положительно, то действие реакиии будет заключаться в постешенном увеличении размера лунной орбиты, в то время как угловая скорость движения Луны по прбите и средняя кинегическая энергия Луны будут уменьшаться. Эго уменьшение кинетической энергии, конечно, с избыткои компенсируется угеличением потенциальной энергии, причем полная энергия Луны вследствие действия ускоряющей силы увеличивается.
Рассмотрим теперь случай нејольшого нормального импульса. Пусть будет скорость, которую приобрело бы телэ от Фиг. $\varepsilon 0$. этого импульса, если бы оно находилось первоначально в покое. После прекрашения дсйтвия импульса результирующая скорость будет иметь вляичину $\sqrt{v^{2}+(0 v)^{2}}$, а следовательно, с точностью до величин первого порядка будет равна $v$. Тогда из формулы (1) следует, что при этом мгновенгого изменения значения $a$ не будет. Напротив, направление движения повернется на угол $\frac{\partial v}{v}$, и следовательно, второй фокус переместится из $H$ в точку $H^{\prime}$ таким образом, чтобы было $P H^{\prime}=P H$, причем будет
\[
H H^{\prime}=P H \cdot \frac{2 \partial v}{v} .
\]

Направление линии апсид при этом вообще изченяется (флг. 80).
Јействие внезапного незначительного изменения абсолютного ускорения ц можно найти путем диференцировдния гавенства (1), если считать, что изменяются только $\mu$ и $a$. Таким образом:
\[
\frac{\mu}{\omega^{2}} \delta a+\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) \delta_{\mu}=0,
\]

или
\[
\frac{\delta a}{a}=-\frac{r^{\prime}}{r} \frac{3 \mu}{\mu},
\]

где,$\prime$ есть расстояние до второго фокуса. Аналогично, так как $\iota^{2} a^{3}=\mu$, нмеем:
\[
\frac{\delta n}{n}=\frac{1}{2} \frac{\delta u}{\mu}-\frac{3}{2} \frac{\delta \partial}{a}=\left(\frac{3 \alpha}{r}-1\right) \frac{\delta u}{\mu},
\]

В случае почти круговой орбиты эти равенства приводлтся к таким:
\[
\frac{\delta a}{a}=-\frac{\delta \mu}{\mu}, \quad \frac{\delta n}{n}=2 \frac{\delta \mu}{\mu} .
\]

Например, если бы масса Солнца 1) увеличилась вследствие падения метеоритов, то орбита Земли сжалась бы, а скорость обращения Земли вокруг Солнца увеличилась бы.

Пгимер. Сравнить наибольшую возмущающую силу Солнца, действующую на Луну, с силою притяжения Земли.

Если воспользоваться обозначениями, принятыми в § 75 при определении массы Земли, и пренебречь квадратом малой дроби $\frac{D^{\prime}}{D}$, то возмущающая сила Солнца в момент „соединения\», т. е. когда Луна находится между Солнцем и Землей, будет иметь приближенное значение:
\[
\frac{\gamma S}{\left(D-D^{\prime}\right)^{2}}-\frac{\gamma S}{D^{2}}=\frac{2 \gamma S D^{\prime}}{D^{3}} .
\]

Когда Луна находится в противостоянии, то возмущающая сила будет:
\[
\frac{\gamma S}{\left(D+D^{\prime}\right)^{2}}-\frac{\gamma S}{D^{2}}=-\frac{2 \gamma S D^{\prime}}{D^{3}} .
\]

В обоих случаях возмущающая сила направлена от 3 емли. Отношение количества (13) к силе притяжения Землею Луны, а именно $\frac{Y E}{D^{2}}$, будет иметь вид:
\[
2 \frac{S}{E} \cdot\left(\frac{D^{\prime}}{D}\right)^{3} .
\]

На основании \& 75 , (3) это выражение (15) равно приближенно следующему числу:
\[
-2\left(\frac{T^{\prime}}{T}\right)^{2}=\frac{2}{(13,7)^{2}}=\frac{1}{90} .
\]