При некоторых условиях материальная точка, брошенная точно в напранлении от центра притягиваюшей силы с нєкоторою определенною скоростью, зависящею от ее положения, уйдет в бесконечность, причем скорость ее будет асимптотически стремиться к нулю. Эта определенная начальная скорость в § 76 была названа „критическою скоростью“, соответствующею начальному положению. Орбита, описываемая материальной точкой, начинающей двигаться с критической скоростью в любом другом направлении, называется ${ }_{n}$ критическою орбитою\». Другими словами, характерное свойство критической орбиты заключается в том, что энергия материальной точки, движущейся по этой орбите, представляет минимальную величину, достаточную, чтобы точка ушла в бекконечность при надлежъщем направлении начальной скорости. Мы увидим, что критическая орбита не обязательно уходит в бесконечность.
Уравнение энергии, а именно:
\[
v^{2}=C-2 \int \varphi(r) d r,
\]

в случае обращения $v$ в нуль при $r=\infty$ принимает вид:
\[
v^{2}=2 \int_{r}^{\infty} \varphi(r) d r,
\]
1) Однако, замечены некоторые расхождения, особенно в случае Меркупия, Венеры и Магса, кото ые еще не объяснены. Они очень незначиельны, напрнмер, в случае Меркурия расхождение имеет величину около $4 \mathrm{C}^{\prime \prime}$ в столетие. $\mathrm{H}^{2}$ значительное изменение закона тяготения, а именно $\lambda=1,5 \cdot 10-7$, объяснило бы это расхождение, но оно очевидно дало бы слищком большую величину — случае Венеры и Марса.

и упомянутое выше условие заключается в том, что этот интеграл должен быть сходящимся. Это будет в том случае, если предел
\[
\lim _{r \rightarrow \infty} r^{1+6} \varphi(r),
\]

где $\varepsilon$ есть любое положительное количество, будет конечным. Если интеграл не сходяшийся, то как бы начальная скорость велика ни была, она не будет достаточна, чтобы удалить точку в бесконечность.
Далее на критической орбите мы имеем:
\[
\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{r d 0}{d t}\right)^{2}=2 \int_{r}^{\infty} \varphi(r) d r
\]

при
\[
r^{2} \frac{d \theta}{d t}=h
\]

Следовательно, должно быть
\[
\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\frac{h^{3}}{r^{3}}=2 \int_{r}^{\infty} \varphi(r) d r .
\]

Дальнейшее решение задачи в общем случае невозможно, но если будет
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{s}},
\]

то мы получим:
\[
\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}=\frac{2 \mu}{s-1} \cdot \frac{1}{r^{s-1}}
\]

при условии $s>1$. Если $s=1$ или $<1$, то критическая скорость не существует. Исключая из рассмотрения эти случаи, мы имеем:
\[
r^{s-1}\left(\frac{d r}{u t}\right)^{2}=h^{2}\left(c^{s-3}-r^{s-3}\right),
\]

где
\[
c^{s-3}=\frac{2 \mu}{(s-1) h^{2}} .
\]

Извлекая квадратный корень и деля на (4), мы найем:
\[
\frac{r^{\frac{1}{2}(s-5)} d r}{\sqrt{c^{s-3}-r^{s-3}}}=d \theta \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\arccos \left(\frac{r}{c}\right)^{\frac{1}{2}(s-3)}=\frac{1}{2}(s-3) \theta+\text { const, }
\]

или
\[
r^{p}=c^{p} \cos p(\theta-\alpha),
\]

где
\[
p=\frac{1}{2}(s-3) \text {. }
\]

Если $s=2$, то $p=-\frac{1}{2}$, и уравнение (12) представляет уравнение параболы, отнесенное к фокусу. Если $s=5$, то $p=1$, и критическая орбита предста̀вляет круг, проходящий через центр силы. Если $s=7$, то $p=2$, и орбита представляет лемнискату с узлом в центре силы.

Эти выводы необходимо изменить при $s=3$. В этом случае на основании (7) мы имеем:
\[
r \frac{d r}{a t}= \pm \sqrt{\mu-h^{2}}
\]

Деля это равенство на -(4), мы получим:
\[
\frac{d r}{d \theta}=m r
\]
rде
\[
m= \pm \sqrt{\frac{\mu}{h^{2}}-1}
\]

Следовательно,
\[
r=C e^{m \theta} .
\]

Таким образом критическая орбита представляет логарифмическую спираль, за исключением случая $h=\sqrt{\mu}$, когда орбита представляет круг (см. § 91).

Формула (12) пэказывает, что критическая орбита будет иметь конечные размеры, если $s>3$, и будег простираться в бесконечность, если $s<3$.