Движение груза „сферического маятника\», т. е. математического маятника, колебания которого не ограничиваются колебаниями в одной вертикальной плоскости, относится к движению предыдущего типа, если только крайние отклонения нити маятника от вертикального положения малы. Как и в случае § 11, движением в вертикальном направлении можно пренебречь, и натяжение нити можно приравнять $m g$, где $m$-масса подвешенной материальной точки. Следовательно, ускорение груза будет направлено к вертикали, проходящей через точку подвеса, и будет равно $\frac{g r}{l}$, где $r$ обозначает расстояние от этой вертикали, a $l$-длину нити. Поэтому мы можем применить предыдущие выводы, положив $n^{2}=\frac{g}{l}$. Траектория представляет с известным приближением эллипс, описываемыи с периодом
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Предыдущая задача, очевидно, тождественна с задачей о колебаниях материальной точки, находящейся в гладкой сферической чаше, вблизи наиболее низкого положения, причем реакция чаши играет такую же роль, как и натяжение нити.

В маятнике Блекберна ${ }^{1}$ ) груз подвешен при помощи нити $C P$ к точке $C$ другой нити $A C B$, концы $A$ и $B$ которой закреплены (фиг. 29). Если пренебречь инерцией нитей, то точка $P$ будет всегда в одной и той же плоскости вместе с точками $A, B, C$.

Очевидно, что если материальная точка совершает небольшие колебания в вертикальной плоскости, проходящей через $A B$, то движение будет такое же, как и в случае математического маятника длины $C P$, в то время как при колебаниях под прямым углом к этой плоскости движение будет таким же, как и в случае маятника длины $E P$, где $E$ обозначает точку пересечения линии $A B$ с вертикалью, проходящею через положение равновесия точки $P$. Следовательно, если небольшие перемещения в вышеназванных плоскостях обозначить через $x, y$ и положить
\[
p^{2}=\frac{g}{C P}, \quad q^{2}=\frac{g}{E P},
\]

то уравнения, соответствующие обоим типам колебаний, могут иметь вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-p^{2} x, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-q^{2} y .
\]

С другой стороны, ясно, что при небольших перемещениях, параллельных оси $y$, восстанавливающая сила, параллельная оси $x$, с точностью до бесконечно малых величин первого порядка, изменяться не будет, так что уравнения (3) будут иметь место и при наложении перемещений обоих типов.

Следовательно, для наиболее общего случая движения груза маятника мы имеем:
\[
x=A_{1} \cos p t+B_{1} \sin p t, \quad y=A_{2} \cos q t+B_{2} \sin q t .
\]
1) Н. Blacburn — профессор математики в Глазго (Glasgow), 1849-1879.

Кривые, получаемые при сложении двух простых гармонических колебаний разных периодов во взаимно перпендикулярных направлениях, имеют важное значение в экспериментальной акустике и обычно ассоциируются с именем Лиссажу (Lissajous) ${ }^{1}$ ), который изучал их детально для целей акустики. Если оба периода $\frac{2 \pi}{p}, \frac{2 \pi}{q}$ соизмеримы, то оба значения $x$ и $y$ в (4) будут повторяться каждый разз, когда $t$ будет изменяться на общее наименьшее кратное обоих периодов, и кривые будут в соответствии с этим замыкаться. Для вычерчивания таких кривых был придуман ряд механических и оптических приборов.

Уравнения (3) применимы также и к колебаниям материальной точки в гладкой чаше, форма которой отличается от сферической. Если мы рассмотрим различные сечения ее вертикальными плоскостями, проходящими через наиболее низкое возможное положение движущейся точки, то, как известно из диференциальной геометрии, кривизна в этой точке будет иметь максимальное и минимальное значение в двух определенных секуших плоскостях, расположенных под прямым углом одна к другои.

Если материальная точка совершает колебания в одной из этих плоскостей, то период колебаний будет такой же, как и математического маятника, длина которого равна соответствующему радиусу кривизны. Если колебания происходят не в этих плоскостях, то можно прнменить уравнения (3) и (4), предполагая, что
\[
p^{2}=\frac{g}{R_{1}}, \quad q^{2}=\frac{g}{R_{2}} .
\]

где $R_{1} \cdot R_{2}$ — два рассматриваемых радиуса кривизны ${ }^{2}$ ).