Многие из предыдущих примеров имеют ту общую особенность, что рассматриваемое твердое тело имеет только одну степень свободы; иными словами, различные положения, которые тело может занимать, можно определить-соответствующими значениями только одного переменного параметра или координаты в обобщенном смысле слова. Поэтому, в случае возможности применения уравнения энергии, его одного будет достаточно для полного оһределения характера движения при заданных начальных условиях.

Очевидно, что этот метод можно распространить на любую консервативную систему, в которой благодаря наложенным связям остается только одна степень свободы перемещения. Следовательно, этот вопрос заслуживает рассмотрения с более общей точки зрения.

Благодаря наложенным связям каждая точка $m$ системы может двигаться только взад или вперед по определенной траектории. Если $\theta$ есть переменное, характеризующее положение системы, а $\delta s$ – перемещение точки $m$ по своей траектории при приращении переменного на $\delta \theta$, то мы имеем:
\[
\delta s=a \hat{\delta} \theta,
\]

где $a$-коэфициент, зависящий вообще от данного положения (ө) системы, из которого начинается движение, и, разумеется, различный для разных точек системы. Следовательно, деля на $8 t$, мы получим скорость точки $m$ :
\[
v=\dot{s}=a \dot{\theta} .
\]

Поэтому кинетическая энергия будет
\[
\frac{1}{2} \sum m v^{2}=\frac{1}{2} A \dot{\theta}^{2},
\]

где
\[
A=\sum m a^{2},
\]

и суммирование распространяется на все точки системы.

Коэфициент $A$ называется \”коэфициентом инерции “ системы. Он существенно положителен. В общем случае он является функциею от $\theta$ и, следовательно, различен для разных положений системы.

Например, в случае твердого тела, движущегося в двух измерениях, если мы обозначим через $\theta$ угол, на который повертывается тело и который отсчитывается от некоторого определенного положения тела, то коэфициент $\alpha$ в равенстве (1) будет представлять расстояние точки $m$ от мгновенной оси вращения, и соответственно $A$ будет (обычно переменный) момент инерции относительно этой оси.

В качестве другого примера мы можем рассмотреть систему, состоящую из поршня, шатуна и махового колеса паровой машины. Пусть будут $I$ момент инериии махового колеса, а $M$ – масса поршнs. Мы пренебрежем для простоты инерцией шатуна. Определяя угол $\theta$, как указано на прилагаемом чертеже (фиг. 57), мы найдем для скорости поршня выражение $O R . \dot{\theta}$ („Статика“, § 15), и, следовательно, кинетическая энергия будет иметь значение:
\[
\frac{1}{2}\left(I+M \cdot O R^{2}\right) \dot{6}^{2} \text {. }
\]

Таким образом коэфициент инерции равен $I+M \cdot O R^{2}$. НаблюдаФиг. 57. телю, производящему опыты с маховвым колесом, будет казаться, что колесо имеет переменный момент инерции выщеуказанной величины.

Конфигурацию системы можно, однако, определить и расстоянием $O P$. Обозначив его через $x$, мы получим:
\[
\dot{x}=-O R \cdot \dot{\theta} .
\]

Тогда кинетическая энергия будет иметь выражение:
\[
\frac{1}{2}\left(M+\frac{I}{O K^{2}}\right) \dot{x}^{2} .
\]

При таком выборе координаты коэфициент инерции будет $M+\frac{I}{O R^{2}}$; он прелставляет инерцию поршня с учетом влияния махового колеса. В „мертвых“ точках, в которых будет $\theta=0$ или $\pi$, эта кажущаяся инерция ${ }^{1}$ ) становится бесконечною.
Мы приведем еще несколько примеров.
Пример 1. Рассмотрим вагон с массою $M$, имеющий $n$ одинаковых колес, каждое с массою $\mathrm{m}$.

Пусть будет радиус колеса равен $a$; обозначим его радиус инерции относительно центрл чере ${ }^{-} x$. Если вагон движется со скоростью $u$, то угловая скорость каждого колеса будет равна $\frac{u}{a}$; следовательно, кинетическай энергия вагона будет
\[
\frac{1}{2}\left\{M+n m\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\right\} u^{2} .
\]
1) Ранкин (Rankine) называет ее также „приведенною инерциею“.

Выражение
\[
M+n m\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)
\]

представляет кажущуюся инерцию вагона.
ПРимер 2. Инерция спиральной пружины, поддерживающей груз, который совершает колебания в вертикальной плоскости (фиг. 5, стр. 29), может быть приближенно определена следующим образом.

Предположим, что пружина растянута равномерно 1), так что если в нерастянутой пружине какая-либо точка находилась от ее верхнего конца на расстоянии $z$, то при растяжении пружины под действием груза она опустится на $\frac{z}{l} x$, где $x$ обозначает перемещение груза в вертикальном направлении, а $l$ полную длину пружины. Если $m$ есть вся масса пружины, то масса элемента $\delta z$ ее длины будет равна $\frac{m \delta z}{l}$, а следовательно, ее кинетическая энергия будет
\[
\frac{1}{2} \frac{m i z}{l}\left(\frac{z}{l} \dot{x}\right)^{2} .
\]

Поэтому полная кинетическая энергия системы будет:
\[
\frac{1}{2} M \dot{x^{2}}+\frac{1}{2} \frac{m \dot{x}^{2}}{l^{3}} \int_{0}^{l} z^{2} d z=\frac{1}{2}\left(M+\frac{1}{3} m\right) \dot{x}^{2},
\]

где $M$ обозначает массу подвешенного груза. Таким образом инерцию пружины можно учесть, прибавив одну треть ее массы к массе груза.