Еели натяжение в какой-либо точке нерастяжимой нити, движущейся по данной кривой, равно $T$, то натяжения, действующие на двух концах линейного элемента $\delta s$, дадут результирующую силу $\delta T$, направленную вдоль касательнои, и силу $T \frac{\delta s}{\rho}$, направленную вдоль нормали, где $\rho$ есть радиус кривизны („Статика\”, 80). Таким образом однородная нить с линейною лотностью $\mu$, не подвержениая дећствию внешних сил и, следовательно, не подчиненная никаким связям, может двигаться с постоянною скоростью $v$, имея форму любой данной кривой, при условии
\[
\delta T=0, \quad \frac{\mu \delta s v^{2}}{\beta}=\frac{T \delta s}{\rho},
\]
т. е. при условии
\[
T=\mu v^{2} \text {. }
\]

Өтим объясняется наблюдаемое стремление нити, движущейся с большою скоростью, сохранять, несмотря на действие внешних сил, например силы тяжести, форму, которую она приобрела.

Фбрмула (2), дает выражение так называемого ${ }_{n}$ центробежного натяжения вращающейся нити, имеющей форму круга или вообще овала.

В качестве частного случая можно предположить, что нить имеет бесконеччую длину и движется по прямой линии за исключением участка конечной длины, имеющего другую форму. Если мы теперь наложим скорость $\boldsymbol{v}$ в направлении, противоположном тому, в котором нить движется на прямолинейных участках, то деформация будет распространяться без изменения вдоль прямой части нити в форме волны, причем в остальных местах нить будет в покое. Это и представляет доказательство Тэта ${ }^{1}$ ) правильности сдедующен формулы для скорости распространения поперечной волны на нити или струне, натянутой с силою $T$ :
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} .
\]

Если на нить действуют внешние силы, то мы можем предположить, что сила, приложенная к элементу $\delta s$, разложена на составляющую $\mathfrak{\delta} \delta s$, направленную вдоль касательной к элементу, и на составляющую 안, направленную вдоль нормали. Тогда уравнения движения элемента массы $\mu о$ будут:
\[
\mu \hat{s} \frac{d v}{d t}=\delta T+\mathfrak{I} \delta s, \quad \mu i s \frac{v^{2}}{\rho}=\frac{T i s}{\rho}+\mathfrak{R} \delta s,
\]

или
\[
\mu \frac{d v}{d t}=\frac{d T}{d s}+\mathfrak{I}, \quad \frac{\mu v^{2}}{\rho}=\frac{T}{\rho}+\mathfrak{R} .
\]

Подожив $v=\theta$, мы получим условия, которые должны удовлетворяться для того, чтобы нить была в равновесии, имея данную форму, при действии той же системы внешних сил. Следовательно, если кривая представляет одну из возможных форм равновесия при действии заданных сил, то уравнения (5) будут удовлетворяться при подстановке
\[
v=\text { const }
\]

прй условии
\[
T=T^{\prime}+\mu v^{2},
\]

где $T^{\boldsymbol{r}}$ – статическое натяжение. Например, нить, висящая между двумя
1) P. G. Tait (1831-1901) – профессор натуральной философии в Эдинбурге (1860-1901).

гладкими блоками (шкивами) и имеющая форму цепной линии, при движении с постоянною скоростью может сохранить свою форму, но при этом ее натяжение будет больше на $\mu z^{2}$.

В случае, если нить движется по данной гладкой кривой, то нормальная сила $\Re \delta S$ будет заключать в себе силу давления $R \hat{s}$ (реакции) кривой. Следовательно, если на нить действует сила тяжести, то мы имеем:
\[
\mathfrak{I}=-\mu g \sin \psi, \quad \mathfrak{R}=-\mu g \cos \psi+R,
\]

где ф обозначает угол наклона касательной к горизонту. Таким образом, если провести ось $y$ вертикально вверх, а ось $x$ в горизонтальном направлении, то будет $\sin \phi=\frac{d y}{d s}$, и первое из уравнений (5) принимает вид:
\[
\mu \frac{d v}{d t}=\frac{d T}{d s}-\mu g \frac{d y}{d s} .
\]

Следовательно, интегрируя в пределах конечной длины $l$ нити, мы получим:
\[
\mu l \frac{d v}{d t}=T_{2}-T_{1}-\mu g\left(y_{2}-y_{4}\right),
\]

где индексы относятся к обоим концам нити. Если оба конца нити свободны, то мы имеем $T_{1}=T_{2}=0$, и ускорение будет зависеть только от разности уровней, на которых находятся концы.

Это же уравнение можно вывести на основании теоремы энергии. В самом деле, полная энергия в любой момент времени будет:
\[
\frac{1}{2} \mu l v^{2}+\int_{s_{i}}^{s_{2}} \mu g y d s,
\]

где второй член представляет потенциальную энергию. За время $\delta t$ к интегралу со стороныі верхнего предела добавится элемент $\mu g y_{2}$ चᄒt, в то время как со стороны нижнего предела будет вычитаться элемент $\mu g y_{1}$ vot. Следовательно, скорость увеличения (производнай по времени) полной энергии будет:
\[
\mu l v \frac{d v}{d t}+\mu g\left(y_{2}-y_{1}\right) v .
\]

Это выражение должно быть равно работе, производимой натяжениями на обоих концах в единицу времени, а именно:
\[
T_{2} v-T_{1} v .
\]

Приравнивая между собой (12) и (13) и деля обе части на $v$, мы и получим формулу (10).