Еели натяжение в какой-либо точке нерастяжимой нити, движущейся по данной кривой, равно $T$, то натяжения, действующие на двух концах линейного элемента $\delta s$, дадут результирующую силу $\delta T$, направленную вдоль касательнои, и силу $T\frac{\delta s}{\rho }$, направленную вдоль нормали, где $\rho$ есть радиус кривизны („Статика\», 80). Таким образом однородная нить с линейною лотностью $\mu$, не подвержениая дећствию внешних сил и, следовательно, не подчиненная никаким связям, может двигаться с постоянною скоростью $v$, имея форму любой данной кривой, при условии
$$\delta T=0,\frac{\mu \delta s{v}^2}{\beta }=\frac{T\delta s}{\rho },$$
т. е. при условии
$$T=\mu v^2\text{. }$$

Өтим объясняется наблюдаемое стремление нити, движущейся с большою скоростью, сохранять, несмотря на действие внешних сил, например силы тяжести, форму, которую она приобрела.

Фбрмула (2), дает выражение так называемого ${}_n$ центробежного натяжения вращающейся нити, имеющей форму круга или вообще овала.

В качестве частного случая можно предположить, что нить имеет бесконеччую длину и движется по прямой линии за исключением участка конечной длины, имеющего другую форму. Если мы теперь наложим скорость $\mathit{v}$ в направлении, противоположном тому, в котором нить движется на прямолинейных участках, то деформация будет распространяться без изменения вдоль прямой части нити в форме волны, причем в остальных местах нить будет в покое. Это и представляет доказательство Тэта ${}^1$ ) правильности сдедующен формулы для скорости распространения поперечной волны на нити или струне, натянутой с силою $T$ :
$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}.$$

Если на нить действуют внешние силы, то мы можем предположить, что сила, приложенная к элементу $\delta s$, разложена на составляющую $\delta \delta s$, направленную вдоль касательной к элементу, и на составляющую 안, направленную вдоль нормали. Тогда уравнения движения элемента массы $\mu о$ будут:
$$\mu \hat{s}\frac{dv}{dt}=\delta T+\mathfrak{I}\delta s,\mu is\frac{v^2}{\rho }=\frac{Tis}{\rho }+\mathfrak{R}\delta s,$$

или
$$\mu \frac{dv}{dt}=\frac{dT}{ds}+\mathfrak{I},\frac{\mu v^2}{\rho }=\frac{T}{\rho }+\mathfrak{R}.$$

Подожив $v=\theta$, мы получим условия, которые должны удовлетворяться для того, чтобы нить была в равновесии, имея данную форму, при действии той же системы внешних сил. Следовательно, если кривая представляет одну из возможных форм равновесия при действии заданных сил, то уравнения (5) будут удовлетворяться при подстановке
$$v=\text{ const }$$

прй условии
$$T=T^{\prime }+\mu v^2,$$

где $T^{\mathit{r}}$ — статическое натяжение. Например, нить, висящая между двумя
1) P. G. Tait (1831-1901) — профессор натуральной философии в Эдинбурге (1860-1901).

гладкими блоками (шкивами) и имеющая форму цепной линии, при движении с постоянною скоростью может сохранить свою форму, но при этом ее натяжение будет больше на $\mu z^2$.

В случае, если нить движется по данной гладкой кривой, то нормальная сила $\mathrm{\Re }\delta S$ будет заключать в себе силу давления $R\hat{s}$ (реакции) кривой. Следовательно, если на нить действует сила тяжести, то мы имеем:
$$\mathfrak{I}=-\mu g\sin \psi ,\mathfrak{R}=-\mu g\cos \psi +R,$$

где ф обозначает угол наклона касательной к горизонту. Таким образом, если провести ось $y$ вертикально вверх, а ось $x$ в горизонтальном направлении, то будет $\sin \varphi =\frac{dy}{ds}$, и первое из уравнений (5) принимает вид:
$$\mu \frac{dv}{dt}=\frac{dT}{ds}-\mu g\frac{dy}{ds}.$$

Следовательно, интегрируя в пределах конечной длины $l$ нити, мы получим:
$$\mu l\frac{dv}{dt}=T_2-T_1-\mu g(y_2-y_4),$$

где индексы относятся к обоим концам нити. Если оба конца нити свободны, то мы имеем $T_1=T_2=0$, и ускорение будет зависеть только от разности уровней, на которых находятся концы.

Это же уравнение можно вывести на основании теоремы энергии. В самом деле, полная энергия в любой момент времени будет:
$$\frac{1}{2}\mu l{v}^2+{\int }_{s_i}^{s_2}\mu gyds,$$

где второй член представляет потенциальную энергию. За время $\delta t$ к интегралу со стороныі верхнего предела добавится элемент $\mu g{y}_2$ चᄒt, в то время как со стороны нижнего предела будет вычитаться элемент $\mu g{y}_1$ vot. Следовательно, скорость увеличения (производнай по времени) полной энергии будет:
$$\mu lv\frac{dv}{dt}+\mu g(y_2-y_1)v.$$

Это выражение должно быть равно работе, производимой натяжениями на обоих концах в единицу времени, а именно:
$$T_{2}v-T_{1}v.$$

Приравнивая между собой (12) и (13) и деля обе части на $v$, мы и получим формулу (10).