Если мы предположим, что закон тяготения верен, то мы сейчас же можем дать некоторые интересные астрономические приложения, основываясь на гипотезе круговых орбит.
Единственным удаленным телом, подверженным главным образом действию земного притяжения, является Луна. Если мы сравним ускорения, сообщаемые Землею ‘Луне и материальной точке вблизи поверхности Земли, то мы придем косвенным путем в оценке расстояния до Луны, которое можно сравнить с расстоянием, найденным при помощи (преимущественно) геометрических операций. Так, если $a$ есть радиус Земли, а $D$-расстояние от Земли до Луны, то на основании закона Ньютона ${ }^{1}$ ) ускорение Луны должно выражаться формулою $g\left(\frac{a}{D}\right)^{2}$. Но если период обращения Јуны около Земли есть $T$, то ускорение на круговой орбите будет:
\[
\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} \cdot D .
\]
Приравнивая между собой эти два количества, мы получим:
\[
\left(\frac{a}{D}\right)^{3}=\frac{4 \pi^{2} a}{g T^{2}} .
\]
1) Из теории потенциала известно, что при законе обратной плопорциональности квадратам расстояний тело, состоящее из сфериче ких слсев однородной плотности, притягивает внешние тела так, как если бы их масса была сосредоточена в центре.
Если мы положим
\[
a=6,37 \cdot 10^{6} \mathcal{M}, g=9,81 \boldsymbol{\mu} / \text { сек }^{2}, T=27,3 \cdot 86400 \text { сек., }
\]
то мы найдем:
\[
\frac{a}{D}=\frac{1}{60,1} \text {. }
\]
Отношение $\frac{a}{D}$ равно синусу \”горизонтального параллакса“ Луны и может быть с достаточной точностью найдено из наблюдений. Численное значение, найденное выше, хорошо совпадает с результатом, полученным таким путем.
Предыдущее вычисление в несколько другой форме было проделано Ньютоном и дало первую бесспорную проверку его теории всемирного тяготения, независимо от закона Кеплера.
Далее, сравнивая ускорения, сообщаемые разными телами на известных расстояниях, мы можем сравнивать массы этих тел. В частности, мы можем сравнить массу любой планеты, имеющей спутника, с массою Солнца.
Обозначая массу Солнца через $S$, массу Земли через $E$, период обращения Земли вокруг Солнца через $T$, период обращения Луны вокруг Земли через $T^{\prime}$, радиус орбиты Земли через $D$ и радиус орбиты Луны через $D^{\prime}$, мы, сравнивая в обоих случаях центральные ускорения, имеем:
\[
\frac{E}{D^{\prime 2}}: \frac{S}{D^{2}}=\frac{D^{\prime}}{T^{2}}: \frac{D}{T^{2}},
\]
откуда
\[
\frac{E}{S}=\left(\frac{D^{\prime}}{D}\right)^{3} \cdot\left(\frac{T}{T^{\prime}}\right)^{2}
\]
Для грубых вычислений можно положить
\[
\frac{D}{D^{\prime}}=389, \quad \frac{T}{T^{\prime}}=13,37,
\]
откуда
\[
\frac{E}{S}=\frac{1}{329300} .
\]
Принцип этого вычисления принадлежит Ньютону 1$).$
